pRoiiKNirs: X'ciulln'OiiiciiiPriinf; fies Svi.ow'sclien Satzes. 985 



niilgcht. ninnckclirt n'clHH-t jedes so erhaltene Prodvict PQ dem Cdiii- 

 plexo 5^ an. 



Sei P irsiend ein liestimmtes PZlenienl- der Ordnung p' . All.e 

 l']Ieniente \(in .s]S . die mit P vertaiLsclibar sind. Mlden eine Gruppe Q, 

 deren Ordnung ([ durch 7/ tlieilbar ist. Die Potenzen von P bilden 

 eine (;ru|)pe ^ der Ordnung 7/, die eine invariante Untergruppe von 

 ist. Die Elemente Q von 0. die der (Jleicliung Y' =^ E genügen, 

 sind mit denen identisch, die der (Ueiehung V =^ E genügen, wo t 

 der grr»sste gemeinsame Divisor von (/ und /• ist. Es handelt sich 

 zunäelist (hirum, die Anzahl dieser Elemente zu bestimmen. 



.Ie(k;s Elenu>nt von Q lässt sich, und zwar nur in einer Weise 

 als Product darstellen von einem Element A, dessen Ordnung eine 

 Potenz /; ist, und einem damit vertauschbaren Elemente B. dessen 

 Ordnung nicht durch p theilbar ist. 



Wenn die tte Potenz von AB der (irup])e ^ angehört, so ist 



(AB)' = A'B' = I". also A' ^^ P% B' = E, 



weil sich auch dies P^hnnent nur in einer Weise auf die angegebene 



Art zei'lciien lässt. Demnach gehört A der Gruppe ''p an, mithin 



auch .1 sellist. weil / nicht durch p theilbar ist. Die Ordnung der 



g 



Gruppe ^^.^ ist . < h. Die Anzahl der (complexen) Elemente dieser 



Gruppe, die der (Jleichung Y' ^ E genügen, ist daher ein Vieltaches 

 von /. etwa tit. Ist 'ipvli? ein solches Element, so ist, weil A der 

 Gruppe ^P* angehört. «13.1 = ^^. also '^AB^'^B. Da B als Element 

 von Ü mit P vertauschbar ist, so enth.ält der Complex ^B mu- ein 

 Element, dessen Ordnung in / aufgeht, nämlich B selbst, während 

 die Ordnung jedes anderen Elementes von '^B durch p theilbar ist. 

 .Seien 



Ü 

 die In verschiedenen (complexen) Elemente der Grujjpc ~~^, deren /te 



Potenz in '^ enthalten ist, dann sind in diesem Comj^lexe auch alle 

 Elemente von Q enthalten, (hn'cn /te Potenz (absolut) gleich E ist. 

 Diese Eigenschaft haben aber nur die Elemente B, B^, B,, ■■■. Mit- 

 hin enthält Q genau tu P]lemente, die der Gleichung Y' = E genügen, 

 oder es giebt, wenn T* ein liestimmtes Element der Ordnung p'^ ist, 

 genau /« Pllemente, die mit P vertauschbar sind, imd deren Ordnung 

 in /• aufgeht. 



Die Anzahl <ler mit P vertauschliaren Elemente von Ö i'^<^ 'J- 

 Die Anzald dci Elemente 7^ /\. P, .••■ von .S), <lie mit P conjugirt 



sind in Ileziit;- auf .sS. ist daher Es giebt dann auch genau fii 



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