986 Gesaiiiiiitsitzung vom 31.0ctoher. 



Elemente Q, in S^, die mit P, vertausclibar .sind, und deren Ordnung 

 in r aufhellt. Setzt man für A' der Keihe nach jedes der - Elemente 



r, .J fj 



P, P^, P,, ••• und für F jedes Mal die tu mit X vertauschbaren Ele- 

 mente , die der Gleichimg F' = E genügen , so erliält man ein System 



^- 1= — tu 



'J 



verschiedenen Elementen AT des Complexes ^. Nun ist /i durch 

 jede der beiden Zahlen q und r tlieilbar, also auch durch ihr kleinstes 



gemeinschaftliches Vielfache ^-. Mithin ist k' durch r theill)ar. Das 



System ^' ist durch jedes seiner Elemente vollständig bestimmt. 

 Zwei verschiedene der Systeme 5?', W, ■ ■ ■ haben kein Element gemein- 

 sam. Ihre Ordnungen k', k" , ■■■ sind alle durch r tlieilbar. Mithin 

 ist auch k ^ k' -[- k" + ■■• durch r tlieilbar. 



Die Anzahl der Elemente einer Gruppe, die der Gleichung A" = E 

 genügen, ist 7}in, die ganze Zahl m ist > 0, weil stets X^E jene 

 Gleichung befriedigt. 



III. Ist die Ordnung einer Gruppe § dt(7rh n tlmlbar^ so erzeugen 

 die Elemente von i3^ deren Ordnung in n aufgeht, eine charokteriMische 

 Untergruppe von §^ deren Ordnung duj-ch n tlieilbar ist. 



Sei 51 der Complex der Elemente von i3. *^ip «^^r Gleichung 

 X" = E genügen. Ist A' ein Element von ^l, und R irgend ein 

 mit § vertauschbares Element, so ist auch R~'XR ein Element von 5i. 

 Mithin ist R'^^R = 9t. Der Complex 51 erzeuge eine Gruppe ® der 

 Ordnung g. Dann ist auch P"'®P = ® , also ist ® eine charak- 

 teristische Untergruppe von ö- 



Ist g" die höchste in n aufgehende Potenz der Primzalil q, so 

 geht q" auch in h auf. Mithin enthält iS eine (iruppe Ü der Ordnung 

 q". Nun ist 5i durch Ü tlieilbar, also auch ®, und folglich ist g 

 durch q" tlieilbar. Da dies für jede in n aufgehende Primzahl q gilt, 

 so ist g durch n tlieilbar. 



Über die Bezieliung des Complexes 5i zu der Gruppe ® bemerke 

 ich noch Folgendes: Ich habe UOer endliehe Gruppen, § 1 die Potenzen 

 5J, 51% 5V', • • eines Complexes 51 betrachtet. Ist in ihrer Reilie 51'"*"- 

 die erste, die einer früheren 51' gleich ist, so ist stets und nur dann 

 sjjj _ gj^^ wenn p = (r (mod. s) und p und <j beide > r sind. Sei t die 

 durch die Bedingungen ^ = (mod. s) imd r <t < r + s eindeutig be- 

 stimmte Zahl. Dann ist 51' die einzige in der Reihe jener Potenzen 

 enthaltene Gruppe. Enthält 51 das Ilauptelement E, so ist 5^"*"' durch 

 51- theilbar. Mithin ist ® = 51' durch 51 tlieilbar. Ist A' ein Element 

 der Gru])})e ®. so ist ^SN := %. Ist also allgemeiner 5i ein in der 



