Frobenius: Vcr;illfj;eiiitAinening des SYi.o\v"schen Sat/.es. 98/ 



(irupi)(> ® ontlialtcner Complox von Elementen, so ist ®?R = @. 

 Daher ist ^l'"*"' = 91', also s = l nnd t = r. In der Reihe der Potenzen 

 von 9t ist folglich 9t'= 9t''"''' die erste, die einer folgenden gleich ist, 

 und diese ist die von dem Complex 9t erzeugte Gruppe. 



IV. Ist <!!(' Onhiinvj einer (iruppe Ö durch die, beiden theilerfremden 

 Zahlen r und s theiUtar, giebt es in § genau r Elemente A_, deren Ord- 

 nung in r aufgeht, nud genau s Elemente Bj deren Ordnung in s auf- 

 geht , f<o ist jedes (kr r Elemente A mit jedem der s Elemente B vertausch- 

 liar. und es giebt in § genau rs Elemente j deren Ordnung in rs auf- 

 geht, lu'hnlich die rs verschiedenen Elemente AB = BA. 



Denn jedes Element C von Ö) dessen Ordnung in rs aufgeht, 

 kann als Produet von zwei mit einander vertauschbaren Elementen A 

 und B dargestellt werden, deren Ordnungen in r und .« aufgehen. 

 Nun enthält i3 nicht mehr als r Elemente A und nicht mehr als s Ele- 

 mente B. Wäre also nicht jedes der r Elemente A mit jedem der 

 s Elemente B vertauschbar, und wären nicht ausserdem die rs Ele- 

 mente AB alle verschieden, so enthielte i3 weniger als rs P^Ieniente C. 

 Dies wider.s2jricht aller dem Satze II. 



§■3- 



Ist die Ordnung A der Gru[)pe S^ durch die Primzahl 7* theilbar, 

 so enthält .sS Elemente der Ordnung p, und zwar mp — 1, weil es in 

 JÖ IUI) Elemente giebt, deren Ordnung in p aufgeht. Aus diesem 

 Satze von Cauchy hat Svlow den allgemeineren abgeleitet, dass jede 

 (irupjie. deren Ordnung durch p" theilbar ist, eine Untergruppe der 

 Ordnung />" besitzt. Er bedient sich bei seinem Beweise der Sprache 

 der Substitutionentheorie. Will man diese vermeiden, so hat man 

 das Verfahren anzuwenden , das ich in meiner Arbeit Tfber endliche 

 (Iruppen beim Beweise der Sätze V und VllI, §. 2 benutzt habe. 



Einen anderen Beweis ei-jiält man, iiulem man die ?up 1 in ^ 

 enthaltenen Elemente P der ( )rdinmg p in Classen conjugirter Ele- 

 mente theilt. Bilden di(! mit P vertauschbaren Elemente von § die 

 (iru[)pe (§ der Ordnung g. so ist die Anzahl der mit P conjugirten 



Elemente ' . Mithin ist 



Avo die Summe über die verschiedenen Classen zu erstrecken ist, in 

 welche die Elemente P zerfallen. Aus dieser Gleichung folgt, dass 



die Siinunanden nicht alle durch /) theilbar sind. Sei ;/ die höchste 



■'/ /, 



in /( entlialtene Potenz von /(. und sei x '^ A. Ist nicht durch v 



ff 



