988 Gesammtsitzung vom 31. Octoliei-. 



theilbar. so ist cj durch ;>' tlieilljar. Die Potenzen von P bilden eine 

 Gruppe ^ der ( )rdnung p, die eine invariante Untergruppe von Ö) ist. 



Die Ordnung der Grupjie ^ ist - < h. Für diese Gruppe dürfen wir 



mitliin die Sätze, die wir für die Gruppe .s3 beweisen wollen, schon 



als bekannt voraussetzen. Sie enthält also eine Gruppe w" der ( )rd- 



nungyj" ', und falls x < A ist, eine durch " theilbare (iruppe -^ 



der Ordnung p". Folglich enthält § <^i<' Gruppe ''P, der Ordnung p" 

 und die durch *P^ theilbare Gruppe ^„+i der Ordiunig p'^\ 



^4- 

 I. Ist dir Ordnung einer Gruppe durch die xte Potenz der Prim- 

 zahl p theilbar^ so ist die Anzahl der darin enthaltenen Gruppen der Ord- 

 nung p" eine Zahl der Form nj) -\-\. 



Sei r„ die Anzahl der in § enthaltenen Gruppen der Ordnung p". 

 Dann ist die Anzahl der Elemente von i3 , hieran Ordnung p ist, gleich 

 r^(p-~\). Diese Zahl hat, wie oben gezeigt, die Form mp — l. 

 Mithin ist 



(i.) r,=l {moä.p). 



Sei ?\_i = r, r^ ^^ s, und seien 

 (2.) 91,, 3L, •■•?(. 



die '/■ in § enthaltenen (Gruppen der Ordnung p" ' und 

 (3.) S,,53.,---a 



die s Gruppen der (;)rdnung p". Die Griippe 51^ sei in a^ der Gruppen 



(3.) enthalten. Die Gruppe 5?^ sei durch h^ der Gruppen (2.) tlieilbar. 

 Dann ist 



(4.) a, + a, + ■•■+«, = A, + i, + • • ■ + i, 



die Anzahl der verschiedenen Paare von Gruppen 31^ , 5>., , für die 31^ 



in 53, enthalten ist. 



Sei 31 eine der Gruppen (2.). Von den (iruppen (3.) seien 



33, , 23, , • • B„ die, welche durch 31 theiU)ar sind. Nach §. 3 ist g > o. 



und nach Satz II, §. i ist 31 eine invariante Untergruppe von jeder 



dieser a Gruppen, also auch von ihrem kleinsten gemeinschaftlichen 



W 23, S, 23„ 



Vielfachen ®. Mithin enthält die Gruppe ^ die a Gruppen liF ' jf > " " ' jf 



23 @ 



der Ordmmg p und keine weitere. Denn ist ^ eine in -^ enthalt(Mie 



