FiiDiir.Niis: \'crallf;t'iiiciiii'niii<i; des SvLow'schen Satzes. 989 



(iruppc der Onlimni;- p. sd ist 'i^ eine durch 31 tlieilbare Gruppe der 

 Ordnung p". Naeli Formel (i.) ist daher a =\(inoA. p). Mithin ist 

 (5.) a,^ 1 , «, +(!.,+ ■ ■ ■ + ar = r(niod. p). 



Nunuielir l>r;uKdie icli den Ilülfssatz: 



J)k AiK(i/if (//■/• (Inijjp/n (Irr Ordnung p'~\ die in feiner Gruppe der 

 Ordnnny y/ cntludUni xind^ ist = 1 {mod. p). 



h'h nehme an, dies Lemma sei schon bewiesen für Gruppen der 

 Ordnung y;", falls x<A ist. Ist dann in der obigen P^ntwicklung 

 X •< A , so ist 



(6.) 6,= 1, />, + /a, + • • • + h = «(mod. p). 



Daher ist r = s oder ?•„_, = r,(mod. ^j), und da diese Congmenz 

 für jeden Werth x<A gilt, so ist 



1 = r, =»•,=•■• = rx_i (mod. p). 



Wendet man dies Ergebniss auf eine Gruppe <0 f^^ij deren Ord- 

 nung// ist, .so ist denniaeh für eine solche ?\_i = 1 (mod. p), und da- 

 mit ist das obige Lennna au(di für Gruppen (kn- Ordnung 7/ bewiesen, 

 falls ('S für Gruppen der Ordnung p" <// gilt, es i.st also allgemein 

 gültig. Kiir jeden Werth x. ist folglich r^ = ?\^, , und daher r^ = 1 (mod. p). 

 (iciinu auf dieselbe W'eise beweist man den allgemeineren Satz: 

 II. tsl dir OrdniuKj einer Gruppe i3 durcli die xte Potenz der Prim- 

 :(dd p thedlKU-j ist S- ;^ x und <p eine in § enthaltene Gruppe der Ordnung 

 /)'. SD ist die Anzahl der in .sj enthtdtenen Gruppen der Ordnung p", die 

 durch '^ thrillidr sind, eine Zahl der Forui iip + 1 . 



!5- 5- 

 Das in §. 4 benutzte Lemma kann man auch in folgender Art 

 lie weisen, indem man sich auf den Satz stützt: Jede Gruppe § der 

 Ordnung yj' hat eine Untergrup])e Sl der Ordnung p*^"', und eine solche 

 Untergruppe ist stets eine invariante. Seien 51 und ^ zwei verschiedene 

 in <ö entliaUiMie Gruppen der Ordnung p''~\ vmd sei *© ihr grösster 

 gemeinsamer Divisor. Da Sl und 5.^ invariante Untergruppen von § 

 sind, .so ist auch T) eine solche, und da .'ö das kleinste gemeinschaft- 

 liche Vielfacdie von Sl und 'i^ ist, .so hat T) die Ordnung j/'. Mithin 



ist 1:^ eine (u-uppe der Ordnung /;'. Eine solche hat, je nachdem sie 



eine cyklisclie (iruppe ist oder nicht. 1 oder p+l Untergrup])en der 



5( 'ig 



Ordnung/*, in unserem Falle also /* + 1 , da ^ und ^ zwei verschie- 

 dene (iruppen dieser Art sind. Demnach enthält § genau /> + 1 ver- 

 scliiedene Grui>pen der Ordnung 7/ '. die durch X) theilljar sind. 



