990 Gesammtsitziing vom 31. Octotier. 



Die (liruppe i3 enthält immer eine (Inippe 5( der Ordnung p''\ 

 Enthält sie noch eine andere, so hat JT) eine invariante Untergruppe 1) 

 der Ordnung p^'^, die in 2t entlialten ist, und für welche die (Jruppe 



^^ nicht eine cvklische ist. Seien "£), , !),.•■■ £)„ die sämmtliclien 



Gruppen dieser Art. Dann giebt es in S^ ausser 51 noch p durcli T), 

 theilbare Uruppen der Ordnung ]>' ' 



(I.) ?l,,?l,,--?l,, 



ebenso j) durch T), tlieilliare Gruppen 



(2.) 3U.,?U.,---?U,, 



u. s. w. , endlich p durch -D,, theilbare Gruppen 

 (3.) 5l,„ _,„+,, ?l,„ _„„+,, ■••3l„,. 



Die nj) + 1 Gruppen 21 , 21, , • • • 21,,^ sind die sämmtliclien in iS (ent- 

 haltenen Gruppen der Ordnung p'\ da jede solche Gruppe ^ mit 21 

 einen gewissen Divisor 55 gemeinsam haben muss, der eine der 

 n Gruppen ®, , X), • ■ • C)„ ist. Sie sind ferner alle verschieden. Denn 

 wäre 21, = 21^+1, so wäre 21, dui-cli die beiden Gruppen T), und T)., 

 th eilbar, also auch durch ihr kleinstes gemeinschaftliches Vielfaclies 21. 

 Ist ^ eine in § enthaltene Gruppe der Ordnung p', so kann man 

 auch die olien betrachteten Untergruppen von § alle der Bedingung 

 unterwerfen, durch '*]} theilliar zu sein. Ist umgekehrt § ^ine in- 

 variante Untergruppe einer Gruppe ^^ der Ordnvmg p'^, so kann man 

 fordern , dass sie alle invariante Untergruppen von %ji seien. 



Mit Hülfe des Satzes V, § i ist leicht zu l)eweisen , dass die An- 

 zahl der Gruppen der Ordnung 7/ ' , die in einer Grujjpe Jö der Ord- 

 nung p'' enthalten sind, nur dann gleich 1 ist, wenn ^ eine cyclische 

 Gruppe ist. 



1. Dir Aiizcüil der in einer Gruppe der Ord)iung p' enthaltenen In- 

 varianten Unteryruppen der Ordnung p' ist eine Zahl der Form np + I . 



Sei 5 eine Gruppe der Ordnung h. sei p' die höchste in // ent- 

 haltene Potenz von p, sei >:_<A und '^^ irgend eine in § enthaltene 

 Gruppe der Ordnung p". Jede Gruppe ^^ ist in np -\- 1, also in min- 

 destens einer Gruppe ^^ enthalten. Ich theile die Gi-uppen ^^ in 

 zwei Arten. Für eine Gruppe der ersten Art giebt es eine Gruppe 'ip,. 

 von der ^„ eine invariante Untergruppe ist, für eine der zweiten 

 Art giebt es eine solche nicht. Die Anzahl der mit ^^ vertausch- 

 baren Elemente von § ist im ersten Falle durch p' theilbar, im zweiten 

 nicht. Die Anzahl der mit ^„ conjugirten Gruppen ist daher im 

 zweiten Falle durch p theilbar, im ersten nicht. Theilt man also die 

 CJruppen '^^ in Classen conjugirter (Jruppen, so erkennt man. dass 



