FnciiuoMi s: \'ci-allf!;emeinening des Svniw'schen Salzes. 991 



die Aiizalil der (inippoii ^^^ der zweiten Art durcli p theilbar ist. 

 Folfj^lieli i.st die Anzald der (iruppen ^„ der ersten Art e^ l(mod.^). 



II. Ist JÖ fifi^ Gruppe der Ordnung p' und ® eine invariante U?iter- 

 i/nippr ron .*ö,, deren Ordnun;/ durch p" theilbar ist, so iM die Anzahl 

 der in ® enthaltenen Gruppen der Ordnuwj p'j, die invariante Untergruppen 

 ron iö ■'^i'id< ''ine Zahl der Form np -\- 1. 



Sei auch hier allii-eineiuer y/ die Iiöehste Potenz der Primznld p, 

 di(> in der Ordnuni^' // von .V» anigeht. Sei ® eine invariante Unter- 

 yruppe von .s^. deren Ordnung' g dnreli p' theilbar ist. Die Anzald 

 idlcf in W enthaltenen (irn])])en ^^ der Ordnung/?" ist =l(mod./)). 

 Ich I heile sie in (iruppen erster und zweiter Art (in Bezug auf >3) "n<l 

 weiter in (blassen cnnjngirter (iruppen. Ist (S durch '^^ theilliar, so 

 ist W auch durch Jede mit ^^ conjugirte (iruppe theilbar. Daraus 

 ergiebt sich die Behauptung in derselben Weise wie oben. Man kann 

 sie al)er auch mit Hülfe der in §. 4 benutzten Methode leicht direct 

 beweisen : 



Die Ordnung von .v* sei h = p' . Nacli Satz V, §.1 enthält ® 

 Kleniente der Ordnung p, die invariante Elemente von ^3 sind. Sie 

 l)ilden, zusammen mit dem Hauptelemente, eine Gruppe. Ist p" ihre 

 Ordnung, so ist //'— 1 die Anzahl jener Elemente. Nach Satz III, 

 vj. I b(>stcht jede invariante Untergruppe von §, deren Ordnung j) ist, 

 aus den Potenzen eines solchen Elementes. Daher giebt es in ® 



/• = - . (iruppen der Ordnung 7;, die invariante Untergruppen von § 



sind. Diese Zahl ist 



(4.) r = 1 (inod.;>). 



Seien 



(5.) ?(,,9l,, •Sl, 



diese /• (>rui)pen, »md seien 



(6.) 23,,58^, •■•^., 



die .s' in (^S enthaltenen (iruppen der Ordnung p", die invariante Unter- 

 grup])cn von .sS sind. Sei 53 eine der (iruppen (6.). Unter den Gruppen 

 (5.) s(Men 51, . 51,, • • -51,, in 'i^ enthalten. Nach {4.) ist dann b = 1 (mod. p). 

 Sei 51 eine der (iruppen (5.). Unter den Gruppen (6.) seien 33,,^^,,, •••58„ 



durch 51 theilbar. Dann sind "^ ' . ^", ■ ■ ■ ^^ die in ^ enthaltenen Gruppen 



der Ordnung ])' ', die invariante Untergruppen von ^^ sind. Nach 



der Methode der Induction ist demnach a ^i\ (mod./j). Bedient man 

 sieh also derselben Bezeichnungen, wie in §.4, so ist 



I = r = o, + rtj + ■ • • + OrZ^b^ + 6; + ■ ■ • +65^« (luod. p). 



