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Über auflösbare Gruppen. IL 



Von G. Frobknius. 



In niciiior Ar1)oit l'bcr auflösbare Gruppm (Sitzungsboriclite 1893) liabe 

 ich folg-eiidcn Satz bewiesen: 



Jat ab die Ordnung einer Gruppe Jö^ ^i'^d die Primfactoren von a 

 aUc unter einander verschieden, und ist b zu a^(ä) tlieilerfremd, so gieht 

 es in 5 gpiicu b Elementej deren Ordnmig in b aufgeht; und icenn d 

 irgend ein Dicisor von a ist, so enthält i3 ^''*^ Gi'uppe der Ordnung d. 



Wegen der zahlreichen Folgerungen, die sich ans diesem Satze 

 ergeben, habe ich versucht, ihn unter Hinzufügung passender Ein- 

 schränkungen auf den Fall auszudehnen, wo die Primfactoren von a 

 nicht alle verscliieden sind. 



§ 1- 

 Seien JÖi , JÖs ^ Öa" • eharnkteristisclie Unfergrtippen einer Gruppe § 

 {f'ber endliche Gruppen, § 5; Sitzungsberichte 1895). Ist jede derselben 

 i3a in der folgenden Ö^+i enthalten, so nenne ich ÖijÖzjÖa" ^ine 

 Reihe charakteristischer Untergruppen. Lückenlos wird die Reihe ge- 

 nannt, wenn es für keinen Index fj. eine chai-akteristische Untergruppe 

 W von ö giP^it, die §„ enthält, in .Ö^+i enthalten ist und von bei- 

 den verschi(>den ist, und wenn ausserdem die erste Grupj^e der 

 Reihe die Hanptgruppe (5, die letzte die Gruppe .»5 selbst ist. Ist 

 91,. 91,, 91.,,-- 9l„ eine lückenlose Reihe charakteristischer Untergruppen von 

 .s3. und 9.^ , "1^2 , 5?3 , • • • 33j eine andere, so ist ot,=^ß, und die Gruppen 



3L 



sinil den Gruppen 



3(„ 



abgcselien von der Reihenfolge (holoedrisch) isomorph. Man kann 

 diesen Satz auf demselben AVege beweisen, wie den analogen über 

 die Ilaupfreihe einer Gruppe. Man kann ihn ■ aber auch aus diesem 

 herleiten mittelst des (a.a.O. S.22) bewiesenen Satzes: Durch passende 



