1028 Sit/.nng der physikaliscli- mathematischen Classe vom 21. November. 



Erweiterung des gegebenen Elementensystems kann man eine solche 

 Gruppe i3' construiren, dass Ö und folglich auch jede charakteristische 

 Untergruppe von <5 ^ine invariante Untergruppe von §' ist, und dass 

 auch umgekehrt jede in i3 enthaltene invariante Untergruppe von i3' 

 eine charakteristische Untergruppe von § ist. Ebenso wie l)ei der 



Hauptreihe hat daher jede der Gruppen ^ " die Eigenschaft: Eine 



minimale invariante Untergruppe derselben ist eine einfache Gruppe, jede 

 Hauptreihe ist zugleich eine Reihe, und die einfachen Gruppen, aus 

 denen sie zusammengesetzt ist, sind alle unter einander isomorph. 

 Sei p eine Primzahl, und ^ eine Gruppe der Ordnung p^, und sei 



eine lückenlose Reihe charakteristischer Untergruppen von ^. Seien 



X, X,-(-X, X, + X,+X, X 



\, p \ p ' -, p ^ ■ \--- p 



die Oi'dnungen dieser Gruppen. Ist x. die grösste der Zahlen A^ , Aj , Aj , • • • , 

 so setze ich 



(I.) ^(sp) = (^_l)(^._l)...(p»_l). 



Ist die Ordnung h einer Gruppe § durch mehrere verschiedene Prim- 

 zahlen^, q,r,--- theilbar, h=p''q^r"---, so enthält ö Gruppen ^,Q,9*t,-- 

 der Ordnungen p^, q"', r" ,•■•. Da je zwei in <5 enthaltene Gruppen *P 

 der Ordnung p^ conjugirt sind, so hat S^(^) für alle diese Gruppen 

 denselben Werth. Ich setze daher 



(2.) ?(i5) = >ai)^(0)^(5R)---. 



Für den Fall, dass je zwei Elemente der Gruppe *P mit einander 

 vertauschbar sind, lässt sich eine lückenlose Reihe cliarakteristischer 

 Untergruppen von ^ auf folgendem Wege bestimmen: Sei Pi , P^,-P^ 

 eine Basis unabhängiger Elemente von ^, und s^ien p^^ , p^^- ,■ ■ ■ pH die 

 Ordnungen jener Elemente. {Über Gruppen von vertauschharen Elementen, 

 Grelle 's Journal, Band 86). Ist £. = £,,, so erhält man einen Isomor- 

 phismus der Gruppe in sich, indem man dem Elemente 



Fl-- Fl-- Pi,-- p; 



das Element 



p°-- f;-- Fl--- Fl 



zuordnet, das durch Vertauschung der beiden Basi.selemente Pi und P, 

 aus jenem hervorgeht. Die Elemente von ^, die der Gleichung 



genügen, bilden eine charakteristische Untergru^^iie ^„. Erhebt man 

 alle Elemente von *P auf die p^""" Potenz, so erhält man eine charakte- 



