Frobenus: Vhev auflösbare Gruppen. II. 1029 



ristisclie Untergruppe Q,j. Der grösste gemeinsame Divi.sor von *p„ 

 und Ü; ist eine charakteristische Untergruppe ?5„,j. Dann bilden zunächst 



e, Vi, %, v^--- v>. 



eine Reihe charakteristischer Untergruppen, die aber im allgemeinen 

 niclit lückenlos ist. Sei £, ^62 = ^3 ^ ■' und sei 



dann kann man zwischen (£ und 'P, die Gruppen 



^^,.„-,. Vui-i, Vuy-.^--- 



einschieben, zwischen Vi ii"^^ V-^ di^^ Gruppen 



VlV-2.«-., V.%.&-.. ViV2,y-..--- 



u. s. w. Mit Hülfe der obigen Bemerkung über einen Isomorphismus 



von V ^^ sich selbst ist leicht zu zeigen, dass diese Reüie lückenlos 



ist. Dalier ist x die grösste der Zahlen ^ , vi , ^ , ■■■. 



Ist V ^ii^^ beliebige Gruppe der Ordnung ja^, so bilden die Elemente 



von ^, die mit jedem Elemente von ^ vertauschbar sind, eine Gruppe^'. 



V ■ V 



p]benso bilden die Elemente von ^, , die mit jedem Elemente von ^, 



5)3" 



vertauschbar sind, eine Gruppe ^^ , u. s. w. Die so erhaltenen Gruppen 



^', ''P", P", • • -^ 1)ilden eine Reihe charakteristischer Untergruppen 

 von %s. (Vergl. Young, On the Determination of Groups lohose Order is 

 a Power of a Printe^ American Journal of Math. vol. XV (p. 130).) 



Nun ist eine charakteristische Untergruppe von einer charakte- 

 ristischen Untergruppe von Ö auch eine charakteristische Untergruppe 

 von ö selbst. Füi" die Gruppe vertauschbarer Elemente ^, kann man 

 auf dem oben angegebenen Wege eine (in Bezug auf ^1) lückenlose 

 Reihe charakteristischer Untergruppen V[ , ^» , ^3 , • • • construiren. ebenso 



I- T r' "P" T TT . "PI'' 'P^' "P^' A ^ T 



lur die Gruppe _,- die Untergruppen -^^7 , ^^ , ^^ , •■ ■. Aul diese 



Weise erhält man eine vollständigere Reihe charakteristischer Unter- 

 grupi)en von ^ 



Sind 51 und ^ zwei auf einander folgende Gruppen dieser Reihe, 



so ist ^.- eine Gruppe von vertauschbaren Elementen, die alle die 



Ordnung p (oder 1) haben. 



Für den Fall, wo in der Gruppe ^ der Ordnung p'' je zwei Ele- 

 mente vertauschbar sind, brauche ich im Folgenden ausser den oben 

 deünirten Zeichen S-(^P) noch das Zeichen 



