lOBO Sitzung der pliysikalisch-matheniatisclien Classe vom 21. November. 



(3.) 0(5p) = (p-l)(p^-l)-(y>e-l), 



wo p den Fang von ^ bezeichnet. Ist dann D eine Untergruppe von 

 «P, so ist ihr Rang o-<p (a.a.O. S. 232). Mithin ist 0(^*) durch 0(0) 

 theilbar. Eine Gruppe des Ranges p kann durch p, aber nicht durcli 

 weniger als p Elemente erzeugt werden. Sei 5i eine Gruppe, die nicht 

 in ^ enthalten zu sein braucht, die aber mit jedem Elemente von ^ 

 vertausch bar ist. Sei ü die Gruppe, in die ^ übergeht, wenn man 

 zwei Elemente von ^, die (mod. 5i) aequivalent sind, nicht als ver- 

 schieden betrachtet. Erzeugen dann P , Q, R,-- die Gruppe ^ , so 

 erzeugen sie auch die Gruppe Q. Mithin ist auch in diesem Falle 

 der Rang von Q ö"<p, und es ist 0(^) durch 0(D) theilbar. 



Hat ^„ dieselbe Bedeutung wie oben, so ist die Ordnung von 



<Pi gleich p^ und die Ordnungen von ?^i > w > ni" >' ' " Wlden eine ab- 

 nehmende Reihe (a.a.O. S. 237). Folglich ist p>x, und 0(^) ist durch 

 ^(5p) theilbar. 



§ 2. 



I. Ist eine Gruppe Sl de?- Ordnung a mit einem Elemente B der Ord- 

 nung b rertauschbar_, und sind b und aS-(St) relative Primzahlen _, so ist 

 Jedes Element von 51 mit B vertauschbar. 



Ist b = rst---, und sind je zwei der Zahlen r,s,t,--- relative Prim- 

 zahlen, so kann man die ganzen Zahlen p, er, r,-- so bestimmen, dass 



1 p <r T 



^ r s t 

 wird. Setzt man dann 



S{ Js- 6t 



B' = R, ß~=S, B' = T,--, 

 so ist B = RST--. Die Elemente R,S,T-- haben die Ordnungen 

 r,s,t--. Speciell kann man tiir r,s,t--- die Potenzen der verscliie- 

 denen Primzahlen setzen , deren Product b ist. Ist B mit Sl vertausch- 

 bar, so ist auch jede Potenz von B mit 21 vertauschbar. Kann man 

 nun zeigen, dass R, S, T ,■■ mit jedem Elemente von 21 vertauschbar 

 sind, so hat auch B diese Eigenschaft. Man braucht daher den 

 obigen Satz mu- für den Fall zu beweisen, wo b = q"- eine Potenz 

 einer Primzahl q ist, die nicht in rtS-(2l) aufgeht. Sei 5? die von 

 den Potenzen von B gebildete Gruppe der Ordnung b. 



Ich betrachte nun zunächst den Fall, wo auch a =;/ eine Potenz einer 

 Primzahl /J ist. Sei 6 , 21, , 3U , SU ,• • ■ 21 eine lückenlose Reihe charak- 

 teristischer Untergruppen von 21, und seien i,/',/i'>+^=,/'+'-+'%-- • ^ 

 die Ordnungen dieser Gruppen. Ist dann x die grösste der Zahlen 

 A, , A, , A3 ,• ■ ■, so ist 



i:(%\) = (p-\){ir-\)- ■■(!>' -\). 



