Frohenus: Ülier auflösbare Gruppen. II. lOHl 



Da B mit 51 vertauschbar ist, so ist B auch mit jeder der Gruppen 

 21, , 21., , 2I3 , •• vertausclibar ([''^Äer endliche Gruppen S. 21). Die mit 53 

 vertau.sclibarcn Elemente der Gruppe 21, 5? der Ordnung p^' g»" bilden 

 eine Gruppe der Ordnung p"q''. Dann ist nach dem SvLow'schen 

 Satze p''~"=l (mod. ^). Nun ist aber Ä,-a<;c und S-(2l) ist nicht 

 durch q theilbar. Folglich ist at = ^, , also ist S, ebenso wie 21,, 

 eine invariante Untergruppe von 21, 'iB. Die beiden Gruppen 21, vuid 

 2.^ sind theilerfremd , weil ihre Ordnungen relative Primzahlen sind. 

 Daher ist jedes Element von 21, mit B vertauschbar. 



Die mit 23 vertauschbaren Elemente der Gruppe 21223 der Ordnung 

 // '"*■'= 9" bilden demnach eine Gruppe, die durch 21, theilbar ist. Mit- 

 hin ist ihre Ordnung. ^p'''"'"'^ 9", und weil ^^-"'^=1 (mod. g) ist, muss 

 /3 = A, sein. Folglich sind 2l„ und S zwei invariante Untergruppen 

 von 2l.j23, und da sie theilerfremd sind, so ist jedes Element von 21, 

 mit B vertauschbar, u. s. w. 



Nunmehr nehme ich an, dass a durch mehrere verschiedene 

 Primzalden p, Pi,pi,-- theilbar ist. Da B mit 21 vertauschT)ar i.st, 

 so ist 2l^B = Ö eine Gruppe der Ordnung ab. Sei p' die höchste 

 Potenz von p, die in ah, also auch in a aufgeht, und ^ eine in 21 

 enthaltene Gruppe der Ordnung p^. Da 21 eine invariante Untergruppe 

 von Ö ist, so enthält 21 auch alle Gruppen, die mit ^ in Bezug auf 

 £> conjugirt sind, also alle Untergruppen von ^, deren Ordnung p^ 

 ist. Bihlen die mit ''P vertauschbaren Elemente von § die Grui)])e 



^' der Ordnimg p , so ist —7- = r die Anzahl der verschiedenen in i3 



enthaltenen Gruppen der Ordnung p' . Zugleich ist r die Anzahl der 

 in 21 enthaltenen Gruppen der Ordnung p^, und mithin ist a durch /•, 

 also p durch b theilbar. Folglich enthält ^' eine Gruppe 23(, der 

 Ordnung b = q"^. Da aber q" die höchste Potenz von q ist , die in 

 ab aufgeht, so giebt es in i3 ein Element H, das der Gleichung 

 JI'^^JI^^^ genügt. Dann i.st H'^'H durch 23 theilbar. Ersetzt 

 man *P durch H~"^H, so wird %\' durch 23 theilbar, also ist ^ mit 

 li vertauschbar, und folglich ist, weil pS-(^) nicht durch q theilliar 

 ist, auch jedes Element von ^ mit B vertauschbar. 



Eben.so wie diese Gruppe ^ der Primzahl p entspricht, gehören 

 zu den andei'n in a aufgehenden Primzahlen pi,p.,,-- gewisse Gruppen 

 ^, ,^., ,•••. Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache dieser Gruppen 

 ist 21. weil seine Ordnung durch die Ordnung jeder der Gruppen 

 ■^p . '13, • T*., , • • • theilbar sein muss. Da B mit jedem Elemente von 

 ■iP , ^, , 'iPs , ■•■ vertauschbar ist, so ist B auch mit jedem Elemente 

 von 21 vertauschbar. 



