1082 Sitzung der physikaliscli-inntlieiiiatisclien f'lasse vom 21. November. 



In derselben Weise kann man folgenden Satz beweisen: 

 //. Sind die Ordnungen der Gruppe 31 U7id des Elementes C relative 

 Primzahlen, ist S ei7ie invariante Unterg7-uppe von Sl^ ist C mit Jedem 

 Elemente vo7i 53 vertauschbar, und 7nif Jede/ii Ele7ne7ite von 31 {7nod. 5?) 

 vertauschhar, so ist C auch 7nit jede7n Elemente von 31 vertauschbar. 



Sei 6 die Gruppe der Potenzen von C, und seien a, b , c die 

 Ordnungen der Gruppen 31 , ^ , ß. Dann sind die Gomplexe 316 und 

 336 Gruppen, 31 und 'i86 sind invariante Untergruppen von 316, und 

 6 ist eine invariante Untergruppe von 3?6. Da aber b und c th eiler- 

 fremd sind , so ist 6 auch eine invariante Untergruppe von 316 ( Über 

 endliche Gruppen, § 2, I). Die Ordnungen a und c der beiden inva- 

 rianten Untergruppen 31 und 6 von 316 sind theilerfremd. Folglich 

 ist C mit jedem Elemente von 31 vertauschbar. 



§3- 



Si7id a und b theilerfre77id , imd e7ithält eine G7'uppe § der O/rlniüir/ 

 ab ei7ie i7ivariante U7itergruppe 31 der Oi'dnmiy a, so giebt es in § genau 

 a Ele7ne7ite, deren Ord7iung m a aufgeht, nä7nlich die von 31. 



Sind auch S-(St) und b theilerfremd, so giebt es in § genau b Elemente, 

 dere7i Ordnung in b aufgeht, U7id Jedes derselbe7i ist 7nit Jedei7i Ele77U'7ite 

 von 31 ve7-tauschbar. 



Jene b Elemente erzeugen eine G7'uppe §, der Ordnung a^b, die eine 

 i7ipariante Untergruppe Sti der Ordnung a^ e7ith('ilt. Jedes Ele/tient der 

 Gruppe 31 1 ist 7nit Jede7n Elemente von § vertauschbar. Sie ist der grösste 

 gemeinsa7ne Divisor von 31 und ^^ und, ebenso wie diese, eine invaria7ite 

 Untergruppe vo7i i3- 



Den ersten Theil dieses Satzes habe ich in der Arbeit Über 

 e7idliclie Gruppe7i, § 2, I bewiesen. Nun sei 



(i.) i5 = ?lßi + 9lß2+-+2lß«. 



Ist B eins der b (mod. 31) verschiedenen Elemente B^, B„,-- B^. so 

 ist die Ordnung von B ein Divisor von h=--ab, also gleich i's, wo 

 /• in a aufgeht und s in b. Da r und i>f relative Primzahlen sind, 

 so ist B = B^B', wo B' die Ordnung r und B"^ die Ordnung s hat. 

 Da r ein Divisor von a ist, so ist B^ ein Element von 31, mithin 

 ist 315? = 31 und 3li? = S15". Man kann daher in der Gleichung (i.) 

 B durch B^ ersetzen, also liewirken, dass die Ordnung s von B ein 

 Divisor von b wird. Dann ist s zu (7S-(Sl) theilerfremd, und folglich 

 ist B nach I, § 2 mit jedem Elemente von 31 vertauschbar. Ist also 

 A irgend ein Element von 31. und ist r seine Ordnung, so ist rs die 

 Ordnung von AB. Demnach enthält der Complex 311? ein und luu- 

 ein Element B, dessen Ordnung in b aufgeht, und die Grujipe »ö 



