FnoBENius: Über auflösbare Gruppen. IL 1033 



enthält genau b solche Elemente, deren Complex 



sei. Jedes derselben ist mit jedem Elemente von 21 vertauschbar. 



Alle Elemente von 5, die mit jedem Elemente von 31 vertausch- 

 bar sind, bilden eine Gruppe §„ der Ordnung h^. Diese ist durch 

 den Complex 'S theilbar. Ist H ein Element von §» so bilden alle 

 Elemente von §, die mit jedem Elemente von H'^^H vertauschbar 

 sind, die Gruppe H'^^gH. Da il~'2li7=2l ist, so ist folglich auch 

 //"'Öo-H^^Öo- Mithin ist Jöo eine invariante Untergruppe von §• Das 

 kleinste gemeinschaftliche Vielfeche von 21 und §„ ist die in § o^t- 

 haltene Gruppe 2li3u- D'** Öu durch 5? theilbar ist, so ist 21 Öo durch 

 2l'i8 = Ö theilbar. Folglich ist 2li3o = 5- Ist also a„ die Ordnung des 

 grössten gemeinsamen Divisors 2l„ von 21 und öo» so ist a„h = aha, 

 also //„ = aj). Da 21 und Öo invariante Untergruppen von § sind, 

 so ist auch 2l„ eine solche. 2l„ besteht aus allen Elementen von 21, 

 die mit jedem Elemente von 21 vertauschbar .sind, und ist demnach 

 din-cli 21 allein vollständig bestimmt. Jedes Element von 2l„ ist mit 

 jedem von 21 und mit jedem von 'iB, also auch mit jedem von 2125 = 

 vertauschbar. 



Ist H ein Element von ^, so besteht der Complex 

 F-' WI= H-'B,H + H-'B,n + - ■ ■ + H'^BtH 



aus b verschiedenen Elementen, deren Ordnungen in b aufgehen. Da § 

 nicht mehr als b solche Elemente enthält, so ist H~^^ H='!8. Erzeugt 

 also der Complex 23 die Gruppe Öi der Ordnung h^. so ist öi eine 

 invariante Untergruppe von 5; und ebenso der grösste gemeinsame 

 Divisor 21, von 21 und Ö, , dessen Ordnung ör, sei. Da §„ durch §, 

 tlieilbar ist, so ist auch 21,, durch 31, theilbar, und mithin ist jedes 

 Element von 21, mit jedem Elemente A'on § vertauschbar. Wie oben 

 ergie1)t sich, dass aji = ahi, also h^^ajj ist. 



?? 4- 

 Sei p' die höchstr Potenz der Primzahl p, die in der Ordnung p' ab 

 einer Gruppe § aufyelit^ und seien je zwei in X> enthaltene Gruppen ^ 

 der Ordnumj // theilerfremd. Sind S-(^) und b relative Primzahlen^ und 

 Ollhält iö (jenau p^b Eleinente^ deren Ordnung in p^b aufgeht, so enthält 

 iS auch genau b Elemente, deren Ordnung in b aufgehtj, und die mit ^ 

 rertdusehbaren Elemente von § bilden eine Gruppe, deren Ordnung p' ab' 



ist. H-o -.j und a theilerfremd sind, und 77 = 1 (mod. p') ist. 



Je zwei in JÖ enthaltene Gruppen ^ und Q der Ordnimg p'' sind 

 conjugirt (in Bezug auf .V>). Daher ist S-{^) = ^(ü). Die gemachte 



