1034 Sitzung der physikalisch -niathematisclien Classe vom 21. November. 



Voraussetzung ist also von der Wahl von ^ unabhängig. Die mit 

 ^(0) vertauschbaren Elemente von <r> bilden eine Gruppe ^'(Q') der 

 Ordnung h' =^p^db' , wo b' der grösste gemeinsame Divisor von h' und 

 h sei. Die Gruppen ^' und ü' haben kein Element R gemeinsam, 

 dessen Ordnung pq durch p theilbar ist. Denn sonst hätten sie auch 

 das Element R'=^P gemeinsam, und dies würde, da seine Ordnung 

 p ist, jeder der beiden Gruppen ^ und O angehören, während diese 

 nach Voraussetzung theilerfremd sind. 



Die Gruppe *P' enthält p^b'c Elemente, deren Ordnung in p'b' 

 (oder p^b) aufgeht. {Verallfjemeinerung des SvLOw'scheti Satzes^ § 2, II.) 

 Ein solches Element R kann als Product von zwei mit einander ver- 

 tauschbaren Elementen P und Q dargestellt werden, deren Ordnungen 

 in j9^ und in b aufgehen. Mitliin geliört P der Gruppe %^ an, und 

 folglich ist >:pP = ^, ^R = %^PQ = VQ- Das Element Q gehört als 

 Potenz von R der Gruppe ^' an, seine Ordnung geht in b auf, ist 

 also zu 9-(^) theilerfremd. Nach § 2 ist daher Q mit jedem Elemente 

 von ^ vertauschbar. Folglich enthält der Complex ^Q nur ein 

 Element, nämlich Q, dessen Ordnung in b aufgeht, wälirend die 

 Ordnimg jedes der anderen p^—\ Elemente durch /) theilbar ist, aber 

 in j/b aufgeht. Die p'^b'c Elemente von ^', deren Ordnung in p'b 

 aufgeht, zerfallen also in b'c Complexe '^R, und es giebt unter ihnen 

 genau {p'-\)b'c Elemente, deren Ordnung durch p theilbar ist. 



Da ^' und Ü' conjugirt sind, so enthält auch 0' genau (p^-\)b'c 

 Elemente, deren Ordnung in p^'b aufgeht und durch p theilbar ist. Zwei 

 Gruppen %^' und Q' haben kein solches Element gemeinsam, die Anzahl 



der verschiedenen in § enthaltenen Gruppen '*P' ist -ry = ~rp. Mithin 



enthält § mindestens —fjj(p^-\)b'c Elemente, deren Ordnung in p^'b auf- 

 geht und durch p theilbar ist. Nach der Voraussetzung giebt es aber 

 in ^3 nicht mehr als p/b Elemente, deren Ordnung in j/b aufgeht, und 

 zu ihnen gehört das Hauptelement, dessen Ordnung nicht dm-ch p theil- 

 bar ist. Daher ist 



7{f-\)b<p^b. (-^C-l](p'-l)<l, 



also weil —r und c ganze Zahlen sind, 

 a 



c :=: 1 , «' r= « , h'=p^ab'. 

 Da b' der grösste gemeinsame Divisor von h' und b ist. so sind a 

 und TT theilerfremd. 







Die Bedingung, dass S-(^p) und b. oder, was auch schon genügt, 

 9-(^) und b' relative Primzalden seien, kann auch durch folgende er- 



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