Krobknus: lllier auflösbare Gruppen. II. lOoO 



setzt wonlen: Jedes Elomont von .S3> dessen Ordnung in b aufgeht, und 

 das mit der (iruppe ''p vertauschhar ist, muss mit jedem Elemente 

 von 'ip vertnusclihar sein. 



§5- 

 Dir OrdiuiiHf einer Gruppe <ö sd ''' = «^•'j- "^'O a und b relatice Prim- 

 zahlen Kind. Sei 



wo k. I , m .■■■ p verschiedene Primzahlen sind. Seien ^ , ö , SR , • • • '»P Gruppen 

 der Ordnungen k' , l'^ ,m'' ,■■• p'' , die in Ö enthalten sind. 



Wenn je zwei Elemente von ^ , je zwei von Ö , • • ■ mit einander per- 



tau.-<chbar sind, und wenn Q(^) und '; , 0(2) i/rtrf -7— ^ ,•• • relative Prim- 

 za/den sind, so enthält .s3 genau b Elemente, deren Ordnung in b aufgeht. 

 Ist d ein Divisor von a, der zu —j theilerfremd ist, so enthält § Unter- 

 gruppen der Ordnung d, und je zwei solche Untergruppen sind conjngirt. 



Da my die höchste Potenz von m ist, die in /* aufgeht, so sind 

 je zwei in § enthaltene Gruppen 931 und ÜÄi der Ordnung ?«"'' con- 

 jugirt. Daher sind auch je zwei Elemente von ^\ vertausehbar, und 

 es ist 0(2)1) = 0(9)?,). Die gemacliten Voraussetzungen sind also von 

 der Wahl der Gruppen ^,ß,9)?, ••• unabhängig. Ich nehme an, der 

 obige Satz, der für a = \ selbstverständlich ist, sei in allen seinen 

 Theilen bewiesen für jede Gruppe 5»' tler Ordnung ab', falls «'<« ist. 

 Dann entliält § genau fb Elemente, deren Ordnung in p^b aufgeht, 

 und es ist also nur noch zu zeigen, dass Ö genau (i?^-l) b Elemente ent- 

 hält, deren Ordnung in p^b aufgeht und durch p theilbar ist. 



Jedes solche Element 7^ kann, und zwar nur in einer Weise, als 

 Product von zwei mit einander vertauschbaren Elementen P und Q 

 dargestellt werden, deren Ordnungen in p'' und in b aufgehen. Man 

 setze also für P der Reilie nach alle Elemente von §» deren Ordnung 

 eine Potenz von p ist. das Hauptelement E ausgeschlossen. Jedem P 

 ordne man die Elemente Q zu, die mit P vertauschbar sind, und deren 

 Ordnung in b aufgeht. Dann stellt R = PQ jedes Element von ö 

 einmal dar, dessen Ordnung in y/ft aufgeht und durch p theilbar ist. 



Die mit P vertauschbaren P^lemente von § bilden eine Gruppe ü 

 der Ordnung /■*', wo r in a aufgeht und s in b, und wo r durch p*^ theil- 

 bar ist. Die Potenzen von P bilden eine Gruppe 9t der Ordnung /»"(v > 0). 

 Diese ist eine invariante Untergruppe von 0. Nach den Bemerkungen 



am Ende des 5j i genügt die Gruppe ^y denselben Bedingungen wie Ö. 

 Sie enthält daher, weil <o ist, genau .« Elemente, deren Ordnung 



