1036 Sit/.ung der physikalisch -iiiatheinatischen Classe vom 21. November. 

 in s (oder in b) aufgellt. Ist 5RC ein solches, so ist C" in 9i enthalten, 

 also ist C^ " = E. Daher kann C als Product von zwei mit einander ver- 

 tauschbaren Elementen A und B dargestellt werden, deren Ordnungen 

 in p" und s aufgehen. Dann ist C' = A'J]' = A'' in ?R enthalten, also 

 da s nicht durch p theilbar ist, auch A. Mithin ist 9M=9i und 

 gi(7:=9i-B. Als Potenz von C ist B mit jedem Elemente von 9t ver- 

 tauschbar. Daher enthält der Complex 91-B nur ein Element, nämlich B, 

 dessen Ordnung in s aufgeht. In Q gielit es aber s solche Complexe. 

 Sie enthalten zusammen alle Elemente von 0, deren s'" Potenz in 91 

 enthalten ist, also auch alle, deren Ordnung in s aufgeht. Jeder der 

 s Complexe enthält aber nur ein solches Element. Mithin giebt es in ü 

 genau s Elemente, deren Ordnung ein Theiler von b ist. 



Die Anzahl der mit P A'ertauschbaren Elemente von § ist rs. 

 Die Anzahl der Elemente, die mit P conjugirt sind in Bezug auf i3r ist 



daher — . Jedem Elemente dieser Classe, wie P, entsprechen s Ele- 

 mente Q, die mit P vertauschbar sind, und deren Ordnung in b auf- 

 geht. Aus dieser Classe entspringen daher — b Elemente R = PQ. 

 Mithin giebt es in ö 



(I.) »b^-^ = ''^ 



Elemente, deren Ordnung in p^b aufgeht, und durch p theilbar ist. 

 Um diese Summe zu bilden, hat man alle Elemente von Ö zu be- 

 stimmen, deren Ordnung eine Potenz von p ist, davon das Haupt- 

 element auszuschliessen, die übrigen in Classen conjugirter Elemente 

 (in Bezug auf i3) zu theilen, aus jeder Classe einen Repraesentanten 

 P zu wählen, und die Anzahl rs der mit P vert^uschbaren Elemente 

 von ö (die Ordnung von Q) zu liestimmen. Die Anzahl aller Elemente 

 von §, deren Ordnung in p' b aufgeht, ist p'b. Zu ihnen gehört 

 das Hauptelement , dessen Ordnung nicht durch jj theilbar ist. Daher 

 ist bc-<x>^'b, also ist die ganze Zahl 



c<p^—\. 



Sei ^ eine bestimmte in ö enthaltene Gruppe der Ordnung p' . 

 Ist Po ein Element der Ordnung f in § > so giebt es ein mit P„ con- 

 jugirtes Element P, das der Gruppe ^ angehört. Wir können daher 

 die Repraesentanten P der verschiedenen Classen, auf die sich die 

 Summe (i.) liezieht, alle in ^ wählen. Die mit ^ vertauschbaren 

 Elemente von <ö bilden eine Gruppe ^' der Ordnung ab', wo a in 

 a aufgeht mid // in b. 



Um die Sunnne (i.) zu berechnen, führe ich für diese Grupi^e 'i]3' 

 die nämliche Untersuchunc: durch, wie oben für Jö- Dieselbe enthält 



