Frobenii's: Ühei' auflösbare Gruppen. II. lOi)/ 



genau 7)V/ Elemente Ä, deren Ordnung in p'-b' {oder p^b) aufgeht. Ist 

 Avie oben R = PQ, so gehört das Element P, weil seine Ordnung 

 eine Potenz von p ist, der Gruppe ^ an. Daher ist Y*P = ^ und 

 'ip/; = <PQ. Die Ordnung von Q geht in b auf, ist also zu 0(*P) 

 theilerfremd. Als Potenz von R ist Q mit ^, und folglich mit jedem 

 Elemente von ^ vertauschhar. Daher enthcält der Complex ^Q ein und 

 nur ein Element, nämlich Q, dessen Ordnung in b aufgeht, während 

 die Ordiuing jedes der p^-l andern Elemente durch p theilbar ist. 

 Ist also R ein Element von ^', dessen Ordnung in p*'b aufgeht, so 

 hat jedes Element des Complexes %iR dieselbe Eigenschaft. Die An- 

 zahl der Elemente R ist p^h'. Sie zerfallen folglich in b' Complexe 

 ^R, deren jeder ein Element Q enthält. Demnach enthält ^' genau 

 b' Elemente Q, deren Ordnung in h aufgeht, und genau {;/-l)6', 

 deren Ordnung in p''b aufgellt und durch p theilbar ist. Man nehme 

 nun in ^' die Elemente von ^, schliesse davon das Hauptelement 

 aus, theile die übrigen in Classen conjugirter Elemente (in Bezug 

 auf *P') und wähle aus jeder Classe einen Repraesentanten P aus. 

 Die mit P vertauschbaren Elemente von ^' bilden eine Gruppe 'Si der 

 Ordnung r's\ wo r' in a'{n) aufgeht und s in b'{b). Dann ist 



(2.) 



CP') 



Die Tieiden in den Formeln (i.) und (2.) auftretenden Summen 

 stimmen, wie ich jetzt beweisen werde, Glied für Glied ü])erein. 

 Nach dem letzten Theile des zu beweisenden Satzes enthält die Gruppe 



^' eine Untergruppe -^ der Ordnung -;; , also Q selbst eine Gruppe 



55 der Ordnung /•. Da -^<o ist, so giebt es in 33 genau p' Ele- 

 mente, deren Ordimng in p^ aufgeht. Demnach hat 2? eine invariante 

 Untergru]ipe *Po der Ordnimg />\ Die beiden Gruppen ^ und 'iPo 

 sind in Bezug auf Q conjugirt. Indem man also S durch eine in 

 Bezug auf Ü conjugirte Gruppe ersetzt, kann man erreichen, dass 

 <P„ = <]3 wird. Dann ist ^ mit jedem Elemente von 23 vertauschbar, 

 mithin ist 23 in ^' enthalten und in Q, also auch in dem grössten 

 gemeinsamen Divisor von ^' und Q. Dieser ist die oben benutzte 

 Grujipe ÜIJ der Ordnung r's. Folglich ist r's', also auch r durch r 

 tli(>ilbar. Da aber 9t ein Divisor von ü ist, so ist ?• durch r theilbar. 

 Mithin ist r'=^r. Auch wäre leicht zu beweisen, dass s'^=b' ist. 



Die Repi-aesentanten der verschiedenen Classen, auf die sich die 

 Summe (i.) bezieht, gehören alle der Gruppe ^' an, und repraesen- 

 tiren auch für diese verschiedene Classen. Ich will nun aber zeigen, 



