FnoHKNH's: riier aiiflöshnre Gnijipen. II. 1089 



Gruppe ^ der Ordnung - , also entliält 21 eine Gruppe © der Oi-d- 



nuiii»- d. Seien 'S und ©o irgend zwei in Ö enthaltene Gruppen der 

 Ordnung d (die durch p' theilbar ist). Will man beweisen, dass sie 

 coiijugirt sind in Bezug auf ^, so kann man jede durch eine be- 

 liebige eonjugirte Gruppe ersetzen. Dadurch kann man erreichen, 

 dass beide dieselbe Gruppe '^ der Ordnung p^- enthalten. Da T)(T)„) 

 genau ;)' Elemente enthält, deren (.)rdnimg in ^/ aufgeht, so ist ^ eine 

 invariante Untergruppe von '£) und ©o- Daher sind "D und Tio beide 



in ''P' enthalten und ^,- und -J- beide in -^ . Folglich giebt es in 



i. ein solches Element //, dass ~ = -s=r> also i?~'-Di?=©„ ist. 



%\ ' V V 



§6. 



Ich wende mich nun zur Betrachtung einiger besonders interessanter 

 specieller Fälle des eben entwickelten allgemeinen Satzes. Der ein- 

 fach.ste ist der, wo jede der Gruppen ^,2,--^ den Rang p = l hat, 

 also eine cyklische Gruppe ist (aus den Potenzen eines Elementes be- 

 steht). Dann ist &(^) = k-l. Ist also k<l<m<--<p, und ist jede 

 in I) autgehende Primzahl >p, oder sind allgemeiner b und n(p(a) relative 

 Primzahlen, so sind die Voraussetzungen sämmtlich erfüllt. Diesen 

 Fall hat BuRNsmE in einer Arbeit N'otrs on the Theory of Grovps of 

 Fiiüte Ordei% Proceedings of the London Math. Soc. a^oI. XXVI, p. 199 

 behandelt. Als Beispiel führe ich folgenden Satz an: 



I. Ist m eine umjerade Zahl, so hat eine Gruppe i3 der Ordnung 2' m^ 

 die ein Element der Ordnung 2*- enthäU, eine und nur eine Untergruppe JÖ« 

 der Ordnung 2'"";/<. Sie besteht aus allen Elementen von Ö^ deren Ordnung 

 in 2'"'m aufgeht. Von den A eharakteristischen Untergruppen öi • 5j---- Ö? 

 der Gruppe § ist jede durch die folgende theilbar. 



Denn sind G^, G.,,-- G/, die A=:2'w Elemente von S^, und ist A 

 eines unter ihnen, so ist 



/r;, .ü._ ,--.G,. \ 



\G,A,G,Ar- G,a) 



eine Pernuitation dersell)en. Die so erhaltenen h verschiedenen Per- 

 mutationen bilden (>in(^ der (iruppe § isomorphe Gruppe Jö- Ist a die 



Ordninig von A, so besteht A aus - Cyklen von je a Symbolen. 



Ist L ein Element der Ordnung 2', so ist daher X eine ungerade Per- 

 nuitation. Dalier bilden die geraden Permutationen von .S3 eine in- 

 variante Untergruppe i3i ^^c^' Ordnung — . Die ungeraden Permutationen 

 sind die. deren Ordmmg diurh 2' theilbar ist, die geraden die. deren 



