^040 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom 21. November. 



Ordnung in 2'"'/« aufgeht. Der Gruppe Öi entspricht eine invariante 

 Untergruppe 5i "^"on y), die aus allen Elementen von V» besteht, deren 

 Ordnung in 2^"'/» aufgeht. Sie enthält das Element i' der Ordnung 

 2^"'. Mithin hat sie eine invariante Untergruppe sS^ der Ordnung 2'~-m. 

 Sie besteht aus allen Elementen B von §> deren Ordnung in 2' "/« 

 aufgeht, und die in Jöi enthalten sind. Die zweite Bedingung ist 

 aber eine Folge der ersten. Denn wenn die Ordnung von B in 2^'^m 

 aufgeht, so geht sie auch in 2''~'m auf, und mithin ist B in Jöi ent- 

 halten. Folglich ist 5, die einzige in § enthaltene Gruppe der Ord- 

 nung 2'~-»i, und demnach ist §2 <^in^ charakteristische Untergruppe 

 von i3- 



Der nächste Fall ist der, wo jede der Gruppen ^ . ö , • • ■ ^ den 

 Rang 1 oder 2 hat. Hat t den Rang 2, so ist 0(5?) = (A--1) (F- 1). 

 Auch dann sind die Voraussetzungen erfüllt, wenn k<l<m<--<p 

 ist, und jede in h aufgehende Primzahl >p ist, oder allgemeiner b zu 

 (F-1)(P-1)-- (/)^-l) theilerfremd ist. Eine Ausnahme tritt aber hier 

 ein, wenn Je =2 und /= 3 ist, und ^ den Rang 2 hat. 



Die Bedingung, dass 0(Ä) und -j- theilerfremd sein sollen, kann 



durch folgende andere ersetzt werden: Sei 6 irgend eine Untergruppe 

 von ^, sei 5^ eine Untergruppe von ß, und sei Q ein Element A'on 



i3, dessen Ordnung in j^ aufgellt. Ist dann Q mit (E (mod. 5t) ver- 

 tauschbar, so muss Q mit jedem Elemente von ß (mod. SR) vertausch- 

 bar sein. Es genügt auch zu wissen, dass dieser Bedingung jedes 

 solche Element Q genügt, dessen Ordnung eine Potenz einer Prim- 

 zahl ist. Der oben erwähnte Ausnahmefall tritt daher unter folgen- 

 der Bedingung nicht ein: Ist ein Element Q, dessen Ordnung eine 

 Potenz von 3 ist, mit ß (mod. 51) vertauschbar, so muss Q mit jedem 

 Elemente von ß (mod. 9t) vertauschbar sein. 



Sei ■^ = ^ und sei ^, , ^j , ^3- ■ • ^ eine lückenlose Reihe charak- 



teristischer Untergruppen von ^. Dann hat jede der Gruppen - — 



entweder den Rang 1 und die Ordnung 2 oder den Rang 2 und die 

 Ordnung 4. Ist Q mit jedem Elemente von ''P, vertauschbar, mit jedem 



von ^^, von ^ u. s. w. , so ist Q nach Satz II, § 2 auch mit jedem Elemente 



von ^ vertauschbar. Wenn also Q zwar mit ^, aber nicht mit jedem 

 Elemente von ^ vertauschbar ist, so muss es auch einen solchen 



Index fx geben, dass Q zwar mit -^, aber nicht mit jedem Elemente 

 dieser Gruppe vertauschbar ist. Dann muss -^ aber nothwendig 



