FiiünKNiis: riiei- auflösbare Gruppen. II. 1041 



(Ion Rang 2 und die Urdnung 4 haben. Wir können nun die Gruppe 



vollständig durch diese Gruppe ^"— ersetzen, d. h. wir können 



voraussetzen, dass =^ den Rang 2 und die Ordnung 4 hat. Dann 



besteht ^ aus dem Hauptelemente E und o unter einander vertausch- 

 baren Elementen A , B , C der Ordnung 2 , die den Bedingungen 

 A^- = E, E' = E, C"- = E, ABC=E 



genügen. Da Q mit ^, aber nicht mit A,B, C vertauschbar ist, so 

 müssen Relationen der Form 



Qä = BQ, QB = CQ, QC=AQ 



bestehen. Daher ist Q^ mit jedem Elemente von ^ vertauschliar. 

 Bilden also die Potenzen von Q die Gruppe Q, die von Q' die Gruppe JK, 

 so ist 9{ eine invariante Untergruppe von ^Q, die obigen Relationen 

 gelten auch (mod. 9?) und ausserdem ist 



Q^ = E (mod. :1J). 



Daher ist ^ die Tetraedergruppe. 



//. Hat jede der Gruppen certausrhbarer Elemente ^ , C , 9)i , • • • ^ 

 der Ordnung k", l^, m"^,- ■■p'' den Rang 1 oder 2, und ist jeder Prim- 

 factor von b grösser als der grösste Prunfador von a, oder ist allgemeiner 

 b zu 0(^) ©(ß)--- 0(^) theilerfremd, so enthält S3 genau b Elemente^ deren 

 Ordnung in b aufgeht. 



Eine Ausnahme tritt nur (4n. wenn k=^2, / = 3 ist, .^ den Rang 

 2 hat, und ö '""^'^ Untergruppe hat, dfren Ordnung in 2'"^'-' aufgeht, 

 und die mit der Tetraedergruppe zusammengesetzt ist. 



Die (iruppen ^, !?,•■■ ''p haben sicher den Rang 1 oder 2, wenn 

 die Exponenten a, /3 ,■•• A alle gleich 1 oder 2 sind. Den speciellen 

 Fall, wo a= 2 , /3 = 7:= • •• = A= 1 ist, hat ebenfalls schon BuRN.smE 

 (a.a.O. S. 202) behandelt. Einen anderen habe ich Über auflösbare 

 Gruppen § 5 erwähnt. Wie ich bei dieser Gelegenheit bemerke, geht 

 dort aus der Fassung des Satzes nicht deutlich genug hervor, dass 

 5,,^, keine invariante Untergruppe von .s3 selbst zu sein braucht. 



Mit Hülfe der entwickelten Sätze macht es nun keine besondere 

 3Iühe mehr, die Vermuthung zu bestätigen, die ich in der Einleitung 

 jener Arbeit ausgesprochen habe: 



///. Unter allen Gruppen, deren Ordnung ein Produet von 5 Prim- 

 zahlen i^if, giebt es nur 3 einfache Gruppen, gebildet von den eigentlicJien 

 gebrochenen linearen Substitutionen in Bezug auf einen Primzahlmodul p. 

 von der Ordnung \p{p--\) für p=7_, 11 und 13, also von der Ordnung 

 168 = 2'-3-7, 660 = 2-3-5-ll . 1 0',)2 = i'-S-?- 13. 

 Sit/.uiiK.sbcrielite 189.5. 93 



