1042 .Sif/.iinii; der physikalisch -mntliematisclien Classe vom 21. November. 



Unter allen Gruppen, deren Ordnung ein Product von weniger 

 als 5 Primzahlen ist, giebt es nur eine einfache, die Ikosaedergruppe 

 der Ordnung 60. Wenn also eine Gruppe, deren Ordnung ein Pro- 

 duct von 5 Primzahlen ist, zwar zusammengesetzt, aber nicht auf- 

 lösbar ist, so muss sie aus der Ikosaedergrupj^e und einer Gruppe von 

 Primzahlordnung zusammengesetzt sein. 



Seien ^ und @ irgend zwei Gruppen der Ordnungen / und g. 

 Indem man die Elemente von ® (ausser E) mit andern Buchstaben 

 bezeichnet, wie die von J^; erhält man zwei isomorphe Gruppen, die 

 theilerfremd sind. Setzt man dann fest, dass jedes Element von g 

 mit jedem von ® vertauschbar sein soll, so ist g®^§ eine Gruppe 

 der Ordnung fff, die zwei theilerfremde invariante Untergruppen 3 

 und ® hat. Diese triviale Art, aus zwei Gruppen eine dritte zu 

 bilden, hat schon Gauchy gelehrt. Solche Gruppen x> sbul passend 

 als zerfallende bezeichnet worden (Dyk, Math. Ami. Bd. 17 S. 482). 



Ist / eine Primzahl p, und ist ® eine Ikosaedergruppe, so ist 

 § eine Gruppe der Ordnung 60^. 



Diese zerfallenden Gruppen hatte ich bei meiner Untersuchung 

 von vorn herein von der Betrachtung ausgeschlossen, habe sie aber 

 dann bei der Zusammenstellung der Resultate aufzuführen vergessen. 

 Ausser ihnen giebt es aber, wie a. a. 0. lieliauptet wurde, nur noch 

 zwei zusammengesetzte, aber nicht auflösl)are Gruppen, deren Ordnung 

 ein Product von 5 Primzahlen ist. Beide haben die Ordnung 120, 

 jede hat nur eine invariante Untergruppe, die eine die Ikosaeder- 

 gruppe, die andere eine Gruppe der Ordnung 2. Jene ist die sym- 

 metrisclie Gi'uppe des Grades 5, diese die Gruppe der linearen Sub- 

 stitutionen ,„, /,,, 1> , ^ n - ■, 

 x^ax +p.(/ y = y^ +oy (mocl. 5) (aö — ßy- 1) 



Diese Resultate, die mir schon bei der Abfassung jener Arbeit be- 

 kannt waren, hat Holder in der kürzlich erschienenen Arbeit Bildung 

 zusammengesetzter Gruppen (Math. Ann. Bd. 46) ausführlich bewiesen 

 (vergl. besonders § 60). 



Von den zahlreichen Verallgemeinerungen der obigen Resultate 

 erwähne ich hier nur noch die beiden folgenden: 



/ V. Sind p<q<r drei verschiedene Primzahlen j, so giebt es ausser 

 der Ikosaedergruppe keine einfache Gruppe der Ordnung p''qr, worin je 

 zwei Untergruppen der Ordnung p" theilerfremd sind. 



V. Sind p<q<r drei verschiedene Primzahlen . .w hat eine Gruppe 

 i3 der Ordnung p^qr"^ eine invariante Untergruppe der Ordnung /-^ und 

 ist folglich auflösbar. Nur wenn p = 2, g=3^ r=b ist;, braucht dies 

 nicht der Fall zu sein. Dann aber hat § eine invariante Untergruppe jy 



der Ordnung r""', und -^ ist die Ikosaedergruppe. 



