Frohknius: rber auflösbare Gnippi'n. II. 1043 



§7- 

 Die in § 5 bctrachtoto Gruppe v> liat eine UntorgTuppe der 



Ordnuiii"' (1 . lalls il und , theilerfremd sind. Dieser Satz lässt sicli so 

 d 



verallgemeinern: Die Gruppe ^(Üj-'P) liabe eine (für Ä) charakte- 

 ristische Untergruppe ^„(Cor- ^0) tler Ordnung If^l^" ,■ ■ ■ p^o). Z. B. 

 kann J^„ = 6 oder ^„ = ^ sein. Dann hat § eine Untergruppe der Ordnung 

 d =. k'^" r" ■ ■ ■ p ". Denn die Gruppe 51 der Ordnung a hat die invariante 

 Untergruj)pe 'ip der Ordnung p'' , und diese hat die charakteristische 

 Untergruppe ^„. Folglicli ist auch '!]3„ eine invariante Untergruj^pe 



von 51. Ferner hat 51 eine Untergruppe 51« der Ordnung -^. Nimmt 



man nun an, für diese sei die Behauptung schon bewiesen, so hat 5[„ 



eine Untergrujipe T)„ der Ordnung -— . Die Gruppe ^^ ist mit jedem 



Elemente von 51, also auch mit jedem von "D,, vertauschl)ar. Mithin 

 hat 51 die Untergruppe '© = 'D„^„ der Ordnung d. 



Ich betrachte nun den speciellen Fall, wo jede der Gruppen 

 SV, ^.■•- ^ eine cyklische ist. Dann hat ^ nur eine einzige Untergruppe 

 von gegebener Ordnung ^/", und diese ist folglich eine charakteristische. 

 Ist also d irgend ein Divisor von a, so hat J5 ^ii^ß Untergruppe X) 

 der Ordnvmg d. Ferner sind je zwei solche Gruppen 55 und 'S' con- 

 jugirt. Denn seien ^^ und ^J, die in ihnen enthaltenen Gruppen der 

 Ordnung/)'«, und seien ^* und ^' Gruppen der Ordnung |*' , in denen *p„ 

 vuid %i enthalten sind. Dann ist ^^'=H-^'^H, also auch % = H-''^„FL 

 weil *p nur eine Untergruppe der Ordnung p''« enthält. Indem man 

 daher X) durch eine conjugirte Gruppe ersetzt, kann man erreichen, 

 dass X) und 3!*' beide dieselbe (invariante) Untergrujjpe ^(, enthalten. 

 Daraus erliält man das Resultat in derselben Weise wie in § 5. 



Sind die Exponenten oi,,[o,--- X alle gleich 1, so ergiebt sich 

 aus der Existenz der Gruppe X) in l)esonders einfacher Weise der 

 interessante Satz, den Höi-der in der unlängst erschienenen Arbeit 

 Die (inippfH mit (luddratfirlcr Ordinmyszald (Göttinger Nachrichten, 1895) 

 entwickelt liat. 



Die Ordnung ^i^PiP.Pi-- der Gruppe § enthalte keinen Prim- 

 factor /j, ,/i^ . y/,- • • in einer höheren als der ersten Potenz. Sei ^„ eine 

 in Ö enthalt(»ne (iruppe der Ordnung /)„, gebildet von den Potenzen 

 des Elementes P„. Um i3 f*ls transitive Gruppe von Permutationen 

 darzustellen, muss man eine Untergruppe @ suchen, welche keine in- 

 variante Untergruppe von <ö (ausser (i) enthält. {Vhrr rndlichr Gnipprii 

 § 4.) Sei J^ eine von (£ verschiedene invariante Untergruppe von iS, 

 <y die grösste in ihrer Ordnung / enthaltene Primzahl, Ü eine in '\^ 



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