1044 Sit/.iinü: der pliysikaliscli-inatliematischen Classe vom 21. November, 

 enthaltene Gruppe der Ordnung q. Dann ist Q eine invariante Unter- 

 gruppe von 5, also auch von ^, weil q und -=— theilerfremd sind 



(a.a.O. S. 2,11). Damit also ® keine invariante Untergruppe von § 

 enthält, ist nothwendig und hinreichend, dass sie keine solche Gruppe 

 von Primzahlordnung enthält. 



Seien ^P„, ^ß , *Py- • • die invarianten Untergruppen von §> deren 

 Ordnungen p„,j3,3 ,p„^ ,-• • Primzahlen sind. Dann ist auch ihr kleinstes 

 gemeinschaftliches Vielfaches ^„^^^y- •■ = 9Jl eine invariante Unter- 

 gruppe von § der Ordnung m^p^p^^p^- ■. Da ^„ und ^^ theiler- 

 fremd sind, so ist P„ mit Pß vertauschbar. Folglich ist P„PßP„^- • • = ilf 

 ein Element der Ordnung m. und 9)i besteht aus den Potenzen von M. 

 Zu den Primzahlen p„ , js^ , 2>„/ • • gehört nothwendig jede in h enthaltene 



Primzahl j3, die nicht in </) j — j aufgeht, z.B. der grösste Primfactor 



von h. 



Ist h=^gm, so hat § eine Untergruppe ® der Ordnung g. Durch 

 die Benutzung einer solchen Gruppe ® gelingt es nun, das Verfahren 

 von Holder zu vereinfachen. ® enthält keine invariante Untergruppe 

 von ö- Denn sonst enthielte sie auch eine solche von Primzahlord- 

 nung, also eine der Gruppen ^5„, ^,; , ^y- •■, während g durch keine 

 der Primzahlen p„, Pq, Py- • ■ theilbar ist. Mithin lässt sich § als 



transitive Gruji'pe von Permutationen von m = — Symbolen darstellen. 



In dieser Darstellung wird das Element M der Ordnung r/i eine Sub- 

 stitution, die aus einem einzigen Cyklus von tn Symbolen besteht, 

 also z. B. durch die lineare Substitution y = a; + l (mod. m) dargestellt 

 werden kann. Die //° Potenz von 31 ist dann die Substitution 

 y^x + b (mod. m). 



Mit der Gruppe Wt, die von diesen Potenzen gebildet wird, ist 

 jede Substitution von § vertauschliar. Sie ist daher von der Foi-m 

 y^ax + b (mod. m), wo a eine Gruppe von g Werthen durchläuft. 

 Die Substitutionen y^ax (mod. m) bilden eine in iö enthaltene Gruppe 

 vertauschbarer Elemente der Ordnung g. Dieser ist nach § 5 die 

 Gruppe ® conjugirt. Also sind auch je zwei Elemente von ® ver- 

 tauschbar. Da g durch kein Quadrat theilbar ist, so hat @ den 

 Rang 1, ist also eine cyklische Gruppe. Mithin lassen sich die g 

 Werthe von a alle als Potenzen von einem derselben c darstellen, 

 der zum Exponenten g (mod. m) gehört. 



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