Hensei.: Über drei- und vierhlätterige RiEMANN'sche Flächen. 1111 



tracliteten Punkte alle drei oder nur zwei der Blätter A'on SR zusammen- 

 hängen, oder ob alle Blätter von einander getrennt verlaufen. Ist nun 



zuerst IT 5 V ' so ist A = 4 c^^ + 2 7,3" genau durch die kleinere der in 



a' luid /3'" enthaltenen Potenzen von ^ theilbar, d. h. es ist d=^m(?>a , 2 b), 

 also wird in diesem Falle die Verzweigung durch den Nenner von 



ni (ia , b) - m {a , | b) = in ( i^ ^ -^ )' 



(1. h. durch den Nenner des kleineren der beiden Brüche — und — 



2 3 



be.stimmt. Ist dagegen ^- = — , also 'ia^2b, so müssen sich iene 



2 'A 



beiden Brüche, da a und b ganze Zahlen sind, selbst auf ganze Zahlen 

 reduciren, es kann also in dem obigen Bruche (8) die ganze Zahl 

 )n {a , ib) einfach fortgelassen werden: in diesem Falle wird demnach 



die Frage durch den Nenner von — entschieden. 



Ist der betrachtete Punkt spcciell x = cx3, also x., der zugehörige 



Linearfactor. so gehen durch die Substitution x^— cc, ß und A über in 



iL 11 :^ 



wo n b' ä' bez. gleich dem Gi'ade von a, ß und A, als Function von x 

 allein betrachtet, sind. Da alsdann a', b' und d' gleich den negativen 

 Werthen der vorher betrachteten Exponenten a, b und d sind, so er- 

 hält man den folgenden Satz: 



Sind in der cubischen Gleichung: 



die Coefficienten ot , ß und die Discriminante A rationale Func- 

 tionen von X bez. von dem Grade a, b' vmd d' , so wird die Ver- 

 zweigimg im Punkte x = oo durch den Nenner des grösseren 



der beiden Brüche -^ und — , falls aber — = -^, durch den 



Nenner von — so Itestimmt, dass er angiebt, wie viele Blätter 



jener Fläche hier zusammenhängen. 

 Durch diesen Satz kann man die Einführung der Grössen x^ und 

 .r, in a.. ß und A vermeiden. So ist z. B. für die cubische Gleichung 



a'=^l, &'=:11; also ergiebt der Nenner des Bruches ~, dass der un- 

 endlich ferne Punkt ein zweifacher Verzweigungspunkt ist; da nun 

 in diesem Falle A = (j'-l)"a;"(ar+ 3) ist, so wird 



