IIensei.: Ülier drei- und vioi-hlätterige RiE>rAXN'sclie Flächen. 1113 



Dioso Austlrüoko genügen, um die Verzweigung der zugehörigen 

 Riicmann'scIkmi Flüclie an einer l)cliel)igen Stelle n vollständig zu er- 

 gründen. Sollen nämlich zunäclist in a alle vier oder nur drei Blätter 

 der Fläche 9{ zusammenhängen, so müssen die Reste der in E^, E^, E^ 

 enthaltenen Potenzen des zugehörigen Linearfactors f die Sequenz [\] bez. 

 111 Ijilden, und dies ist dann und nur dann möglich, wenn ^ mindestens 



in einer der Functionen E., und ,, in einer Potenz enthalten ist, deren 

 Nenner in der reducirten Form gleich vier oder gleich drei ist. Da 

 aber ein solcher Nenner bei den Theilern (aj^, /3^, 7"^) und (a^, B^, r^) 

 nur in der dritten bez. zAveiten von jenen drei Functionen auftreten 

 kann, so erhält man für einen dreifachen bezw. für einen zweifachen 

 Verzweigungspunkt die folgenden Bedingungen: 



I. für einen dreifachen Verzweigungspunkt: 



'j) (A^B^^^)~^^ fi(r^)>i. 



n. für einen zweifachen Verzweigungspunkt: 



1 >) (a^, B^. r^) <v^ B' R (b^) > 1 , 



in denen die beigefiigten Zusätze besagen, dass die Exponenten der 

 in 74 . . . enthaltenen Potenzen von ^ in der reducirten Form de» 

 Nenner 4 oder 3 haben müssen, und wo von den Bedingungen {n) 

 und (h) immer nur die eine erfüllt zu sein braucht. 



Soll dagegen an der Stelle a gar kein Verzweigungspunkt vorhanden 



sein, so müssen die in E^, E3, E^, also auch die in E^, ^ , E^E^Ei ent- 



lialtenen Potenzen von ^ nothwendig sämmtlich ganzzahlige Expo- 

 nenten haben. Es ergiebt sich also die Bedingvuig: 



III. für einen nullfachen Verzweigungspunkt: 



li{a^. ßK y') ~ i?(A% B', r^') ~ liiA^') v 1 . 



In allen übrigen Fällen hat die Fläche R in a einfache Verzweigungs- 

 ])unkte und zwar zwei über einander liegende oder nur einen, je 

 nachd(Mn in den Resten der Exponenten von E.. , E^ , E^ die Sequenz [4] 

 zweimal oder (Miimal vorkommt, je nachdem also das Product 



A - = Ei E3 Ei 



.SiUuiig.sl.eiichle 18'.l5. 100 



