K = 1,2, . .. W 



1= 1,2, . .. n 



Fuchs: Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen. 1117 



und 



(13) B.= ^^- 



Wir setzen (ii) in Gleichung (Ä*) ein, und erhalten 



(SO 1 dx I d^ . Tjy^^i, = (- 1 )" . 2 TT/. ;£^ ^ , 



wo 



(.4) 4"" = ^- 



Die Grössen ii„ ' sind nur von den Verhältnissen der Grössen 

 /;,j, />2aj • • • ^Aia abhängig. Es ergiebt sich also: 



Die Grössen tI^ ' ^ sind wohlbestimmte rationale Func- 

 tionen der Grössen A, , Aj, ... A„ und ^,^., sie sind daher ledig- 

 lich durcli die auf «,,^, bezügliche Fundamentalsubstitution 

 bestimmt. 



Die Gleichungen (S') repraesentiren hiernach n^ Glei- 

 chungen für die n"^ Coefficienten gn, der zu a^+, gehörigen 

 Fundamentalsubstitution des Fundamentalsystemes 



>!,, v),, . . . •/!„. 



2. 



Betrachten wir nunmehr eine lineare Differentialgleichung 



(i) A,y-\-A,y'+... + A,,y^"^ = o, 



deren Coefficienten ganze rationale Functionen von x, und deren Inte- 

 grale überall bestimmte Werthe haben. Wir wollen für dieselbe die 

 einschränkenden Voraussetzungen, welche wir in Abli. S. 183 — 184 

 über die Wurzeln der determinirenden Fundamentalgleichungen ge- 

 macht haben, fallen lassen, und vorläufig um Complicationen zu ver- 

 meiden nur Folgendes festsetzen : Die singulären Punkte h^ , b^, . . . h^ 

 seien so beschaffen, dass die sämmtlichen Differenzen der Wurzeln 

 der ihnen zugehörigen determinirenden Fundamentalgleichungen ganze 

 Zahlen sind, ohne dass sie zum Auftreten von Logarithmen in ihrer 

 Umgebung Veranlassung geben. Dagegen seien a^, a ,,,... a^ singulare 

 Punkte , in welchen sich sämmtliche Integrale verzweigen , und für 

 welche nicht die Differenzen zweier Wurzeln einer determinirenden 

 Fundamentalgleichung ganze Zahlen sind. 

 Ist nun 



(2) « = P,y + P,^'+... + P_.y'-', 



