1118 Sit/iing der physikalisch -Tiiatlieiiiatischen Classe vom 22. Deceniber. 



WO Pq. P, ,...P„_, rationale Functionen von x bedeuten, so genügt 

 u einer linearen Differentialgleiclmng n. Ordnvmg 



(3) C,w + C. «'+... + C„«'"* = o 



derselben Classe mit (i). welche ebenfalls die singulären Punkte 



a„ ...a^, h^, ... h^ 



besitzt, und deren Integrale d e n s e 1 1 > e n F u n d a m e n t a 1 s u b s t i t u t i o n e n 

 zugeliören, welchen die Integrale von ( i ) unterworfen sind. 



Wir wollen jetzt zeigen, dass wir die rationalen Functionen 

 P„, P, , . . . P„_, so wählen können, dass die Grleichung (3) über- 

 haupt dieselben singulären Punkte wie (i) besitzt, und dass 

 die realen Theile der Wurzeln der auf a^,a^,...a^ bezüg- 

 lichen determinirenden Fundamentalgleichungen zwischen 

 Null und der negativen Einheit enthalten sind. 



Wir können zunäclist durch eine Substitution der Form 



(4) y ^ {x — ß,)~"' {x — «2)""- . . . (.r — a,)~"^ • yo , 



wo die Grössen c6, , et,, . . . et Null oder positive ganze Zalilen sind, 

 aus (i) eine Diff'erentialgleichung in w lierstellen von der Beschaffen- 

 heit, dass die Wurzeln der zu a^, a^, . . . a^ gehörigen determinirenden 

 Fundamentalgleichungen in ihren realen Theilen positiv sind. Wir setzen 

 demnach voraus, dass schon die Uleichung ( i ) diese Eigenschaft habe. 

 Sei nunmehr /«(,— I die höchste ganze Zahl, welche in den realen 

 Theilen der Wurzeln der zu a^ gehörigen determinirenden Funda- 

 mentalgleichungen enthalten ist, alsdann werde 



(5) 11 ix) = {x - r/,)"'> {x - (i^-^ ...{x- ap 



gesetzt. 



Sei ferner 



(6) \l/(^) = {x - a^){x — r/.,) . . . {x — a^ 

 und 



„ ■p,., = ^Ä^. ,^0,,,....,-, 



wo (po{x) , (p^{x), . . . (^y„_^{x) noch näher zu bestimmende ganze rationale 

 Functionen bedeuten. 



Wir wollen alsdann in Gleichung (2) für P^{x) die durch die 

 Gleichung (7) bestimmten rationalen Functionen setzen. 



Bezeichnen wir mit r^,r^, . . . r„ die Wurzeln der zu einem Punkte a 

 gehörigen determinirenden Fundamentalgleichung, wo a aus der Reihe 

 ö, , ö, 5 • • • <^j entnommen ist, und mit y, , ^2 > • • • y« ^^^ bezüglich zu- 

 gehörige Fundamentalsystem von Integralen der Gleichung ( i ). Sei 



