Fuchs: Zur Theorie der linearen nifferentialiileicliniiüen. 



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ferner r, diejenige der ClröuSsen i\, i\, . . . r,^, deren realer Tlieil die 

 liöchste ganze Zahl ni — i (die oben dem Punkte a zugeordnet worden) 

 enthält. Wird (^^o{(i) von Null verschieden angenommen, so gehört w, , 

 welches aus (2) durch die Substitution y ^zi y^ erhalten wird, zu einem 

 Exponenten, dessen realer Theil zwischen Null und der negativen 

 Einheit gelegen ist. Möge der reale Theil von i\ die grösste ganze Zahl 

 7n—\-p^ enthalten (p„ eine positive ganze Zahl oder Null) und sei 



(8) y, = c, {X - o)"^ +c,{x~ «)'■" ^' + ..., 



so wollen wir (p^, (f\ , . . . (/)„_, so einrichten, dass 



XI "■'" '^ (A + i)! 



7J:+'(<^.-4^) + ^('/V-i) 



(A + 2)! 



iK'-m^A') 



(A + w -i)! 



+ c, 



(A-i)! 



^r>o+(/'a+0-TT^«(^.^) 



(9) 



AI 



+ (^a + I ) ^'a 



(A+i)! 



A^+"-((^_.-J."-) 



Dl+^{cp,4^^) + .. 



+ i'\+ 0^«.--(r, — ^ + 3); 



■D:+"-Hcp„_,-^"-^)+... 



+ C-. 



(A + 7i — 2)! 



+ 



c^Jfl) + (/-,+A)~D,((/).-v^) + (r,+A)(r,+A- i)4i>a(^.^^^) + • • 



+ {9\ + X){r, + X-i)..,{r,+ X~n-^2)- 



Dr'(^«-.^^"-') 



= o 



I d.v'^ Jx =z a 



Wenn in diesen Gleichungen successive a = 2 , 3 , . . . ?i gesetzt wird, 

 so erhalten wir für A = o 7i — i Gleichungen für die Unbekannten 

 (/)„(«), (p,{a), . . . (^„_,(ö) . 



Ebenso erhalten wir für A = i 7i — i Gleichungen für die Un- 

 bekannten (po{n), c^,(a), . . . (pn-i{a); </>o(o) . f'A^') ^ • • • <^l-i(«). ebenso 

 für A = 2 71—1 Gleichungen für die Unbekannten (po{a), ^,(öf), . . . 



</>«^,(«); (poia), (p'Aa), ■ . . K-.(«); </>l'nß), (p?{(f), • • • (pn-iia) u. s. w. 



Denken wir uns die Grössen r^ , r^ 



7',j so geordnet, dass 



P2^P3^ 



> 



Pn 



SO liefern die Gleichungen (9) demnach für die Unbekannten 



<(«),^l'*(ö). ••• <^.(«) >.-o, ,,...^,-1 



im Ganzen p^ {)i — i ) Gleichungen. Da die Anzahl der Unbekannten 

 gleich p^7i ist, so sind die Gleichungen immer erfüllbar. 



Dieselbe Schluss weise bleibt für jeden der singulären Punkte a^ gültig. 



