1120 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom 22. December. 



Sei 

 (lo) cly,{x)={x-af + '{x-a,f+' . . . {x - a;)^^^ ' ^^ 

 wo 



worin C^'J' willkürliche Grössen, l^ positive ganze Zahlen bedeuten. 

 Nach dem Zusammenhange, welcher aus der Theorie der Zerlegung 

 einer rationalen Function in Partialbrüche zwischen den Grössen C^"* 

 und den Werthen </>(,'* («J sich ergiebt, folgt daher, dass auch ^b^H^a) 

 für A=o,i,,,.4; h = o , i , . . . n — i; a=i,2,...p willkürlich 

 vorgeschrieben werden dürfen. Ist daher A = 4 mindestens so gross 

 als der höchste Index A der im Gleichungssystem (9) für (^ = a^ auf- 

 tretenden Grössen <^[,^' (a J , so ergiebt sich demnach , dasswir stets 

 n ganze rationale Functionen ^o(^)? <Pi{^):> • • • ^„-i(^) von der 

 Beschaffenheit angeben können, dass ^[,'H'^O '^^i^ (P12 + P22 + • • • 

 -\- p,n) {u — i) Gleichungen genügen, die sich aus (9) für a =^ a^, 

 a^, ... a ergeben, wenn p^^ für den singulären Punkt a^ die- 

 selbe Bedeutung hat wie oben allgemein p^ für den singu- 

 lären Punkt ö. 



Da die Wurzeln der zu «,, gehörigen determinirenden Finidamental- 

 gleichungen sich nicht um ganze Zahlen unterscheiden, und da die 

 höheren Ableitungen (^|,''(aj, die noch nicht im Gleichungssystem (9) 

 (für a = üi , a^, . . . a^) auftreten, ebenfalls willkürlich wählbar bleiben, 

 so ergiebt sich, dass daher cf)^{a:) , (pi{x) , . . . (p„_^{x) noch so gewählt 

 werden können , dass in u^-^^ (dem Resultat der Substitution von y^^ 

 für 1/ in (2)) nicht höhere Potenzen von a; — ß,^ verschwinden, als es 

 die Gleichungen (9) erfordern, so dass die realen Theile der Wurzeln 

 der sämmtlichen zu «, , a.^, . . . a^ gehörigen determinirenden Fundamental- 

 gleichungen bei der Gleichung (3) zwischen Null und der negativen 

 Einheit liegen. 



Hiermit ist das am Eingange dieser Nummer ausgesprochen^ 

 Theorem bewiesen. 



Für den Fall , dass bei Gleichung ( i ) unter den Wurzeln der zu a^ 

 gehörigen determinirenden Fimdamentalgleichung eine solche sich be- 

 findet, deren realer Theil ganzzahlig, also unter den Wurzeln der 

 entsprechenden Fundamentalgleichung bei (3) eine solche, deren realer 

 Theil Null, wenden wir auf Gleichung (3) die Substitution 



(11) u = [x ~ a^) ^ {x — a^y^ . . . {x — a^)^^ • lo 



an, wo £(, eine reale positive zwischen Null und Eins gelegene Grösse 

 bedeutet, von der Besehaffeiüieit, dass r^, — e^ ■> f'a2 — ^a^ ■ ■ • ^\m — ^a noch 



