Schottky: Über reducirte Integrale erster Gattung. 528 



Um die Frage allgemein zu beantworten, stelle ich sie so: Wie 

 sind die r zu definiren, damit für diese Integrale ein Additionstheorem 

 besteht, gleieh als wenn sie zu einer Gleicliung vom Geschlechte tr 

 gehörten ? 



Es sei gegeben eine Gleichung G(;r, y) = o vom Geschlechte p. 

 Wählt man zwei rationale Functionen j» , g von x,y, so sind diese 

 wiederum durch eine irreductible Gleichung i/(p , g) := o verbunden. 

 Das Geschlecht dieser zweiten Gleichung kann nicht grösser als p sein, 

 da jedes Integral erster Gattung, das zur Gleichung H=o gehört, 

 zugleich ein Integral erster Gattung für das Gebilde (x , y) ist. Im 

 allgemeinen wird das Geschlecht der zweiten Gleichung nur gleich o 

 oder sein kTinnen. Ich nehme aber an, G(.r , y) = o sei von der spe- 

 ciellen Beschaffenheit, dass bei besonderer Wahl von p,q das Ge- 

 scldeclit r der Gleichung H{p, q) =z o zwischen p und o liegt: 



p > T > o. 

 Icli setze dann pz=r-{-(j-. 



Es ist unmöglicli , dass sich x , y rational durch p , q ausdrücken 

 lassen. Die Anzahl der verschiedenen Punkte {x,y), die zu einem 

 Werthepaare p, q gehören, nenne ich n und bezeichne n solche Punkte 

 als eine Gruppe. 



W^enn es sich darum handelt, ein vollständiges System von Inte- 

 gralen erster Gattung aufzustellen, die zum Gebilde {x,y) gehören, 

 so können in diese Reihe zunächst die r Integrale erster Gattung auf- 

 genommen werden, die zur Gleichung H{p , q) ^ o gehören: 



W'„= ^RAp,q)dp (a=,,2..T) 



Die 0" übrigen seien in der Form: 



wj = \Sß(x,y)dp (ß=,.2..<r) 



gegeben , wo S^ eine rationale Function von {x , y) bedeutet. Die Inte- 

 grale dieser zweiten Reihe denke ich mir nmi durch Hinzufügung von 

 linearen Aggregaten der ersten Reihe so reducirt. dass identisch: 



%S^{x,,y.) = o 



ist, wenn die Summation über eine beliebige Punktgruppe erstreckt 

 wird. Eine .solche Reduction ist jedenfalls möglich. Denn wenn die 

 Summe 



XS,{:> 



y.) 



nicht o ist, so ist sie jedenfalls eine rationale Function F,7,{p,q) des 

 zur Gruppe gehörigen Werthepaares {p,q), und es ist 



