Frobeniiis: Über die riianiktcrc Jer mehrfach transitiven Oruppen. 559 



s =■ l"x! 2''A! 3"|u! •••, .so erhält man ein VielfachpK von h, und wenn die 

 Gruppe ?• = ( )c + 2 A + 3 /^ + ■ • ■ ) -fach transitiv ist^ die Zahl h selbst. 



Da dieser Satz die Grundlage der folgenden Untersuchung bildet, 

 will ich hier auch seinen Beweis entwickeln. 



Man schreibe x. + X-\- \j. + ■ ■ ■ leere Klammern auf, von denen ■/. 

 einen Platz, A zwei Plätze, ,(/ drei Plätze usw. enthalten. Man nehme 

 x-\-2A + 'iy.+ ■■ ■ =^ r verschiedene Symbole und setze sie in allen mög- 

 lichen Anordnungen an die leeren Plätze. Dann erhält man alle Sub- 

 stitutionen dieser Symbole , die aus x Zyklen des Grades 1 , A Zyklen 

 des Grades 2, fx Zyklen des Grades 3 usw. bestehen, und jede dieser 

 Substitutionen s = l"x! 2'A! 3"/ix! •■• mal. 



Nun sei gegeben eine Gruppe § des Grades n und der Ordnung h. 

 Aus den n Symbolen wähle man r (< n) verschiedene a, ß ,y , • ■ • 9- aus. 

 Durch die A Substitutionen der Gruppe 5 ™ögen sie in ct,',/a',y',---B-', 

 in oc", ß" , y", .-. 9-" usw. übergeführt werden. Die p verschiedenen Sy- 

 steme von Symbolen, die man so erhält, nenne ich konjugierte Systeme 

 (in bezug auf §)■ Enthält die Gruppe g Substitutionen, die jedes der 

 r Symbole oi, , ß , y , ■■■ B- ungeändert lassen, ao ist pq =^ h (Cam. Jordan, 

 Traite des substitutions , Nr. 44). 



Sei R eine Substitution von §, welche x. Zyklen des Grades 1, 

 A Zyklen des Grades 2, y. Zyklen des Grades 3 usw. enthält. Man ordne 

 die Zyklen von R etwa so, daß erst die x. Zyklen des Grades 1, dann 

 die A Zyklen des Grades 2 usw. stehen, und dann erst die übrigen 

 Zyklen in beliebiger Anordnung folgen. Es ist nicht ausgeschlossen, 

 daß R mehr als k,X,ij.--- Zyklen der Grade 1, 2, 3 ... enthält. Dami 

 kann man R auf verschiedene Arten in der angegebenen Art schreiben. 

 Die Anzahl solcher Substitutionen R, jede so oft aufgezählt wie eben 

 angegeben, sei v. Dann ist v die Anzahl der Kombinationen von 

 X, Zyklen des Grades 1, A Zyklen des Grades 2 usw., die in allen Sub- 

 stitutionen von iö vorkommen. 



In jeder dieser v Substitutionen kann man noch die ersten x Zyklen 

 untereinander vertauschen, die A folgenden untereinander vertauschen 

 und jeden dieser A Zyklen auf 2 Arten schreiben («,/3) oder (iÖ,ä) usw., 

 also kann man jede dieser v Substitutionen auf c<t =:: 1"/. ! 2''A! 3"|u! •■• 

 Arten schreiben. Dann erhält man üs Substitutionen, die alle wenig- 

 stens der Form nach verschieden sind. 



In einer dieser vs Substitutionen A mögen an den ersten r Platzen 

 innerhalb der Klammern die r Symbole ^it, /Q,y, ••• S- in dieser Reihen- 

 folge stehen. Seien E , B^, B,, ■■■ B^_^ die q Substitutionen von ^, 

 die jedes der r Symbole a. , ß,y, ■ ■ ■ ^ ungeändert lassen. Dann stehen 

 in den q verschiedenen Substitutionen A, AB^, AB., ■■■ AB,^_,, aber in 

 keiner anderen, die r Symbole u, ß,y, ••• S- an derselben Stelle, wenig- 



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