560 - Gesammtsitzung vom 17. März 1904. 



stens jedesmal in einer der ver-schiedenen Formen, in denen .sich eine 

 dieser Substitutionen unter den aufgestellten vs findet. Ist a,', ß', y', ■■■ S-' 

 eines der p mit <x,,ß,y, • ■ • 3- konjugierten Systeme, so finden sicli 

 auch genau q Substitutionen darunter, in denen af, /3', y', ■■■ S-' in dieser 

 Reihenfolge die ersten r Plätze einnehmen. Unter den i'>s betrachteten 

 Substitutionen gibt es also pq =^ h, worin die ersten r Plätze in den 

 Klammern mit den Symbolen ot,,ß,y, ••■ 9-, oder oi,',ß',y', ••• S-', oder 

 ci", ;6", 7", ■■ ■ S-", •■• in dieser Reihenfolge besetzt sind. Diese /«Sub- 

 stitutionen sind durch irgend eine von ihnen alle vollständig bestimmt. 

 Enthält das aufgestellte System von vs Substitutionen noch eine weitere 

 Substitution A^, ,so entspringen daraus wieder h, die unter sich und 

 von den h ersten , wenigstens der Form nach , verschieden sind. Mithin 

 ist vs = mh ein Vielfaches von h. Ist die Gruppe § r-fach transitiv, so 

 ist ot,,ß,y, • •■ 9- mit jedem System von r verschiedenen Symbolen kon- 

 jugiert. Daher ist ?» =: 1. 



§2. 

 Sei R eine Substitution von ^, die genau ci,ß,y, ■■■ Zyklen der 

 Grade 1,2,3, • • ■ enthält. Dann kommt R unter den oben aufgestellten 



r t^ - 



Folglich ist 



V Substitutionen ( | L | ( I • ■ • mal vor. Dies bleibt auch richtig, wenn 

 nicht :^ > X , /3 > A , 7 > ju , • • ■ ist, weil dann jene Zahl gleich Null ist. 



5U/\v(mJ"' 



mli 



l''>c! 2'-X! S-p!-- 



wo die Summe über die h Substitutionen R von § zu erstrecken ist. 

 Ist § r-facli transitiv, so ist m = 1. Nun seien 5, , s.,_^, s^, ■ ■ ■ Variable, 

 denen wir die Dimensionen (Gewichte) 1,2,3, ■■■ beilegen, .so daß 

 dem Produkte s' s^ s^ • ■ ■ die Dimension >c+-2A + 3nx+-- zu erteilen i.st. 

 Ist dann Jö '■-fach transitiv, so verschwinden in der Differenz 



«,xl...\« UIvIf 



die Koeffizienten der Glieder, deren Dimension ^ r ist. Für x, A, />i, • • • 

 können alle Werte 0, 1,2, • ■• gesetzt werden. Nach Vertauschung der 

 Reihenfolge der beiden Summationen läßt sich die eine ausführen. 

 Die Entwicklung der Difierenz 



;-(S(l + *-i)« (l+s,)ß (\ + s,)y.-.)- 



beginnt also mit Gliedern, deren Dimension > r ist. 



Nun seien x^ , x.^., ■■■ a„_, ,yi,yi, ■■■ y„_, Variable , die alle die Di- 

 mension 1 lialien. Setzt man dann 



1 + *« = (1 + < + •• • + <-,) (1 +2/,** + • • • +2/:-i) , 



