Fr()iii:nhis: Über die Cliiiriiktere der inelirfacli transitiven Grii[)j)eri. 561 



so beginnt die Entwicklung xon .v„ mit Gliedern der Dimension x. Da- 

 her föngt die Entwicklung der Difterenz 

 1 



X ( 1 + «,+ ••• + •'•„-J" (! + <+•••+ K^iT 





mit Gliedern an, deren Dimension >r ist. 



In meiner Arbeit Über die Charaktere der st/mmetrischen Gruppe^ 

 Sitzungsberichte 1900, im folgenden mit S. zitiert, habe ich in § 3 

 gezeigt, daß 



(2.) (.T, + .r, + ••• +x^f(x\ + xl+ ••• -^ xlf ■■■ ^{x^, X,, ■■■ x^) 



(") 

 ist. Hier ist ■/.^"'(i?) = %t!/5,y,... ein Charakter der symmetrischen 

 Gruppe, genauer ausgedrückt, der Wert eines solchen Charakters für 

 eine Substitution R, die aus cc,ß,'y--- Zyklen der Grade 1,2,3--- 

 besteht. Ist x„ die größte der n Zahlen y.^, y,„ ■■■ >c„ des Systems (jc), 

 so will ich (S. § 4, (2.)) 



(3.) Xj + ••• +x„_i — t(«- 1) (n-2) = 2n — l -«„ = n' 



die Dimension des Charakters x nennen. Demnach gibt es nur einen 

 ("harakter der Dimension 0. den Hauptcharakter %= 1, nur einen 



Charakter der Dimension 1 , % L = 06 - 1 , zwei Charaktere der Di- 

 mension 2, 



(4.) xkI = ;«(«-:i) + ß , 



drei Charaktere der Dimension 3, 



M 



|(a-l)(a-2)-ß, 



(5- 



= |a(a-l)(a-5) +(a-l),6 + y, 



= v(«-l)("-2)(a-3)-(a-l)ß-l-y, 

 = Ja(a-2)(a-4) -y, 



fünf Charaktere der Dimension 4, 



^ l,a[a-\)[a--l){a-l) + ! (a - 1 ) (a - 2)ß + ' ß (ß - 3) + (a - 1) y + *, 



= ^,(a-l)(a-2) (a- 3) (a- 4)-. ;(=*-!)(«- 2)ß+ vß(ß- !) + («- l)y-*, 

 = :«(a-l)(a-3)(a-G) + ! (a - 1 ) (a - 2)ß - .l ß (ß - 1 ) -d, 



= Xa-2)(c,-3)(a-5) -:a(a-3)ß --[ß(ß-l) +Ä, 



= ,Xa-l)(a-4)(tt-.5) + ß ( S - 2 ) ^ (« - 1 ) y , 



