Frohenius: Über div ("Imrakti're der nu'lii'racli traiisitivi'ii (iriijjpcn. «)()ö 



WO R die // Substitutionen von .'ö durcliläut't, und 



X, + • • ■ + y„-i + K„ :^ Xi + ■ ■ + X„_i + X„ = \n(n + 1 ) 



ist. D;inn beginnt die Entvvieklung der Differenz U—V mit Gliedern, 

 deren Dimension >r + (n-\){n-2) ist. Dasselbe gilt für jede andere 

 r-{nch transitive Gruppe .^' des Grades n. Für diese bleibt der Aus- 

 druck V derselbe, während U in eine Summe U' übergeht, worin R 

 die h' Substitutionen von S^' durchläuft. Folglich beginnt auch die 



Entwicklung von 



{U-V)-{U'-V) = U-U' 



mit Gliedern, deren Dimension >r + (n-\) {n-2) ist. Die Summe 

 (I.) -!- 2xW{«)xW(i?-) 



liat daher für .S3 und .V»' denselben Wert, falls 



x,+ ••• +x„_, + X, + ••• +X„_,<r + («-!)(«- 2) 



ist. Der Umfang dieser Bedingung Avird am weitesten, Avenn man 

 unter x„ (A„) die gi'ößte der Zahlen x, , ••• ;«„ (A;, ■•• A„) versteht. Dann 

 besagt sie, daß die Summe der Dimensionen der beiden Charaktere 

 %'"' und %*^' <r ist. Sei jetzt 



(2.) >ti<x2< ■■■ <x„ , Xi < X2< ••• < A„. 



Wählt man dann für .S3' die symmetrische Gruppe ® des Grades ?i, 

 so verschwindet die Summe (i.), außer wenn Xj = Aj, ••■ ;c„ ^ A„, kurz 

 (;c) = (A) ist; dann hat sie den Wert 1. Dasselbe gilt daher unter der 

 obigen Bedingung für jede r-lach transitive Gruppe $). 



Nun ist ^ eine Untergruppe von ®. Folglich ist jeder Cha- 

 rakter x^'^R) von ® eine lineare Verbindung der Charaktere von iö> 

 deren Koeffizienten positive ganze Zahlen sind. Aus der Formel 



worin R die Substitutionen von "ö (nicht von <B) durchläuft, und aus 

 den bilinearen Relationen, die zwischen den Charakteren von § be- 

 stehen, ergibt sich demnach der Satz: 



I. Jeder Charakter der symmetrischen Gruppe, dessen Dimension < 2 r 

 ist, ist auch eiti Charakter jeder r-fach transitiven Gruppe. 



Und speciell: 



II. Jede zweifach tramitive Gruppe hat den Charakter a,-\. und jede 

 transitive Gruppe^ welche diesen Charakter hat, ist zweifach transitiv. 



III. Jede vierfach transitive Gruppe hat die Charaktrrr 



a-1 , |a(a-3)-t-ß , |(a- 1) (a- 2)-ß, 



und jede transitive Gruppe., welche alle diese Charaktere hat, ist vierfach 

 transitiv. 



