50)4 Gesamnitsit/.un!; vom 17. IMäiz 1904. 



Ist ferner (x) von (A) verscliieden, ,so ist 



R 



falls die Snmme der Dimensionen von %'"' und x'*"* < r i.st. Ist also 

 die Dimension von x**^' > h\ ""(^ demnach die von %'"' <\r, so 

 ist %*"* ein Charakter von <ö, x'^' aber eine lineare Verbindung- von 

 Charakteren von $>> unter denen der Charakter x'"' nicht vorkommt. 



§4- 

 Definiert man den Charakter x'*', Avie S. § 3 , durch vi ver- 

 schiedene Zahlen Aj, ... A,,., deren größte A„, ist, so ist seine Dimension 



( I .) Ai + • • • + A„,_i - 1 ( m - 1 ) ( OT — 2 ) = n + w - 1 - Am = n' . 



Dann ist 

 (2.) («1+ ■•• +a;,„)"(a;,-+ •■■ +^^)'^{«'+ ••• + ü;^^ ■ ■ ■ A{x, , ■ ■ ■ x„) 



= 2 xL',Vo. • • • [^- >-2 , ■ • • M ^}' ^^ • • • ^Ir ■ 



(>■) 

 Damit ein bestimmter Charakter 



(3-) M^..-J 



in dieser Entwicklung vorkomme, genügt es m^a,.+ \ zu wählen. 

 Nun ist nach S. § 4 (7.) 



tti + ■ ■ ■ + a, + b^ ■ ■ ■ + b,. = n — r , 

 also (7,. + i, < n - 1 und «' = w - 1 - ft, > o, . Daher kann man vi. = n' + l 

 setzen, dann ist A„, = n, und der Charakter x'*^' '^er Dimension n' ist 

 durch die n' + l verschiedenen Zahlen 



{4.) (x^) (A) : A,,A,.---A„.,n 



charakterisiert, die der Bedingung (7.), § 2, genügen. 



Ich will nun zeigen, wie man x'^' durch den entsprechenden 

 Charakter 



(5-) {^^'^) (A) : A,,A,,---A„. 



der symmetrischen Gruppe des Grades ?i ausdrücken kann. Dabei 

 benutze ich die folgende bekannte Formel: Ist 



(X - Xi) {X - X2) ■ ■ ■ {X - X,.) = X" + ti X"-^ + ■ ■■ + tn , ^r + < + • • • + ^n" = *K ) 



SO ist 



" „.ßt^... l"a!-2ßß!3-7! ■•• 

 \v(i sich die Summe über alle nicht negativen Zalden oc , ,G , 7 , ■ • • er- 

 streckt, die der Bedingung 



a + 2ß+'iy+ ■■■ = V 

 genügen. 



