Froüknu's: Über die Charaktere der iiiclirfacli transitiven (iiiiii|ieii. 5(l< 



der Jius 



c^"^- 'y = ^^ ( ^ , r, ) = i>i D; c-J (.r,/ = - 1 ) . 



§5- 



Mit Eenutzung der entwickelten Sätze luibe ich die CliMr;d<tere 

 aller melirfach transitiven Gruppen berechnet, deren Grad ^ 24 ist. 

 Außer den symmetrischen und alternierenden Grupjien der verschie- 

 denen Grade ist keine Gruppe bekannt, die mehr als fünffach transitiv 

 ist, und man kennt nur zwei fünffach transitive Gruppen, die beide von 

 Mathieu entdeckt sind, und deren Charaktere ich hier angeben Avill. 



Die Substitutionen der fünffach transitiven Gruppe 9)^,, des Grades 

 11 = 12 und der Ordnung h = 12. 11. 10. 9. 8 zerfiillen in 15 Klassen. 

 Zwei Substitutionen von ?0i,2 sind konjugiert, wenn sie in der alter- 

 nierenden Gruppe des Grades 12 konjugiert sind. Daher bilden alle 

 Substitutionen, die in gleich viele Zyklen desselben Grades zerfallen, 

 eine Klasse, nur die Substitutionen der Ordnung 11 zerfallen in zwei 

 inverse Klassen (11)+ und (11)-. In der ersten Spalte der Tabelle 

 bezeichnet das Symbol (6) (3) (2) die Klasse der Substitutionen, die 

 in 4 Zyklen der Grade 6, ?•>, 2, 1 zerfallen, das Symbol (3)' die Klasse 

 der Substitutionen, die in 4 Zj'klen des Grades 3 zerfallen. Die Zyklen 

 ersten Grades sind weggelassen, außer bei der Hauptklasse (1)'^. 



In früheren Tabellen pflegte ich die Anzald h. der Elemente der 



p^"" Klasse anzugeben. Es scheint zweckmäßiger, sie durch -, zu er- 

 setzen, die Anzahl der Elemente der Gruppe, die mit einer Substi- 

 tution R der p'™ Klasse vertauschbar sind, also die Ordnung einer 

 gewissen Untergruppe. Die Summe der Normen der in einer Zeile 



stehenden Werte aller Charaktere ist gleich , • In der ersten Zeile 



findet sich der Grad /, = y}'^{E) jedes Charakters x.*"'. Ich benutze 

 diese Zahl zur Kennzeichnung von %'"'. Die drei Charaktere, wofür 

 f^ = 55 ist, unterscheide ich durch 55''', 55<^', 55'^'. In der letzten 

 Spalte soll das Zeichen 16 daran erinnern, daß von den beiden in- 

 versen Charakteren 16''* und 16'^' nur der eine angegeben ist. 



Nach den entwickelten Sätzen hat ?Pli2 die Charaktere a- 1 : 11"*, 

 {(a-l)(a-2)-/3 : 55"* und .U(a-3) + /3: 54. Die drei in Formel (5), 

 § 2 aufgezählten Charaktert' dritter Dimensionen der symmetrischen 

 Gruppe @i2 zerfallen jeder in zwei Charaktere von SRio, nämlich 

 99 + 55'=', 120 + 45 , 144 + 176. Die beiden ersten Charaktere der Formel 

 (6), § 2 zerfallen in 11'^' + 54 -t- 66 + 144 und 66 + 120 + 144. 



