r. F. Geiser: Ki/ciiriiiik von Minimaliläclifii durch ('iirveiisclianrcn. ()79 



ergibt sich 



(5.) i»/= G^ + (l,. 



M ist eine Function von x, 1/, z; K, sodass die Gleichung M = 

 für jeden Werth des Parameters A eine Fläche liefert. Ent- 

 Ii<ält diese für jeden Werth von A die Schnittcurve der dem- 

 selben Werthe von A entsprechenden Flächen cp und "4/ ihrer 

 ganzen Ausdehnung nach, so ist F eine Minimalfläche. 



II. 



Bedeuten a,h,c,d gegebene Functionen von A, so sind 

 (l.) cp=2/-|-aa; + i=:0, \p^=z-\rCx-\-d=:^Q 



die Gleichungen einer geradlinigen Fläche F. Bezeichnet man die 

 ersten und zweiten Ableitungen nacli A mit Accenten, so wird 



3/ = ( 1 + a= + c') ((p'>'-v|;"(p') + ■2{b'c'-a'd'){a^' + c^\j') 



wo 5t , 5> , G Functionen von A sind. Soll F eine Minimalfläche sein, 

 so muss M für jeden Werth von x verschwinden, es müssen also 

 a.h , c, d gemäss den Gleichungen 



51 = 0, S = 0, g = 



bestimmt werden. Man erkennt unmittelbar die Lösung: 



(3.) 1 + «2 + c- = , b'c -a'd' = 



welche zeigt, dass die dem unendlich fernen imaginären Kreise 

 .*R\„ umschriebenen Developjjabeln als Minimalflächen be- 

 trachtet werden können. Die beiden Gleichungen 



1 + «- + c= ^ , «9' + c\\i' ^ 



liefern dieselbe Lösung. 



Ist 1 -h ß" + c'' 4: 0, so hat man für eine Minimalfläche F zunächst 



(4.) a"c' —c"a' ^=^ 0; 



es existirt also zwischen a und c eine lineare Relation, d. h. die Er- 

 zeugenden von F stützen sich auf eine unendlich ferne gerade Leit- 

 linie ®„ . Soll F reell sein , so kann ®„ zur unendlich fernen Geraden 

 der A"F- Ebene gemacht wei-den; es ist dann r = 0, während a,h,d 

 die Doppelgleichung 



d'a" — a'd" 2 cm' d'b"—b'd" 



(5-) 



1 + a» b'd: 



