C. F. (jkiskh: lOrzeiiginig von iMiiiiiiiiillläclicii lUircli ('iirvi'iiscliaarcii. (jöl 



(2.) M=0 



licfricdigt soin. Durch Kliiuiiuition von E und K ergibt .sich aus (i.) 

 und (2.) 



{3.) ■2a(nu"—u') + 4m — 4«'X + '«"X" = 0. 



Der Fall tr = ü, in welchem die Axe des Büschel.s paralleler Ebenen 

 eine Tangente von St„ ist, führt auf 



71 = aX" + ßX, 



wo X und /3 Integrationsconstanten siiul. Ersetzt man hier u und A 

 durch ihre aus (i.) sich ergebenden Werthe, so erhält man in 



(4.) -—=aE'-ßE (a- + b-+c-=0) 



die Gleichung einer Minimalfläche. Es ist eine Fläche 

 vierten Grades mit einem Doppelkegelschnitt; dieser besteht 

 aus zwei Geraden, die sich in einer Tangente von ^„ ver- 

 einigt haben. 



Ist (7 4= 0, so kann man ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit 

 (7=1 setzen. Durch die Substitution A = -^, w = -|(A- + -/)^) ver- 

 wandelt sich dann (3.) in 



(5- 





und (Hess führt durch Integration auf die Rotationsfläche 

 der Kettenlinie. 



Versteht man jetzt unter a , b , c Functionen von A und setzt 



, cp^ax + bi/ + cz + l=^E + l=^0 {a= + 6- + c- = 0-) 



ip = {(ä:^ + y^ + Z-) + \ = ]K+X = 0, 



so ist durch diese Gleichungen ein System concentrischer Kugeln auf 

 ein System von Ebenen bezogen, welche im allgemeinen nicht mehr 

 parallel sein werden. Nun erhält man 



M = a'E-4aE' + {6E" - EE') ■ E + {<jE"- a'E') K- -iE" ■ K 



Eine Minimaltläche tritt auf, wenn neben den Gleichungen (6.) noch 

 die Gleichung erfüllt ist: 



-0-'+ •2{\g'-2<t)E'-( 1 + 2Xa)E"-6E''' + AXE" = 0. 



Sie stellt für jeden Werth von A einen Cylinder dritten Grades dar, 

 welcher den durch (6.) gegebenen zugehörenden Kreis enthalten muss. 

 Diess ist unter Voraussetzung der Realität von a,b,c nur möglich, 

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