C F. Geiser: Erzeugung von iMinimalllächeri durch Curveiiscliaaren. 685 



( 2 .) [a'df- b'c') (1 + «=' + C-) = 0. 



Setzt mau hier den ersten F.actor gleich Null, so erliält man 

 die abwickelbaren Flächen. Aus dem zweiten Factor er- 

 geben sicli die geradlinigen Flächen, deren Erzeugende sich 

 auf ^„ stützen. 



B. Um die Flächen zu finden, für welche die eine Schaar der 

 Krümmungslinien aus Kreisen besteht, geht man von der Darstellung 

 in IV. aus: 



(l.) 9 = f7.c + % + c^ + l = 0, i' '^ \(x'' + y^+ z') + i\x+^-\-(iz — Q. 



Es ist also für diesen Fall 



(2.) n = b(z + i)-c[y+h), S = f(a.- + a)-a(^ + c), ü = a{y + h)-b{x ■\- a) 



und die Gleichung V, (4.) geht über in 



[{a'x^-h'y + i'z){a'%+b'^ + c'(l) 

 ^^'' -{«'* + % + c'^)(a'?l + b'Ö + c'(£)]-(2r + 53''+r) = 0. 



Der erste Factor links wird zu Null für 



a' : b' : c ^ a! : h' : (/. 



Zur geometrischen Deutung dieser Bedingung beachte man, dass die 

 Enveloppe der Kugelschaar 



(4.) x"^ + y"^ -\- z^ -\- "liix -{■ 2vy + iivz -\- 1 = Q 



(wo u , V , w , f Functionen des Parameters Ä sind) durch die Gleichun- 

 gen (i.) dargestellt ist, wenn man setzt: 



Da nun 



wird, so hat man eine Bestätigung des bekannten Satzes: 



Besteht bei einer als reell vorausgesetzten Fläche die 



eine Schaar der Krümmungslinien aus Kreisen, so ist die 



Fläche die Enveloppe einer Kugelschaar. 



Es bleibt noch der Fall, in welcliem man die Gleichung (3.) durch 



die Annahme erfüllt: 



2l2+S3- + (£'- = 0, 



wo die Werthe aus (2.) einzusetzen sind. Durcli Reduction mit Hülfe 

 der Gleichungen (i.) ergibt sich: 



