950 Sitzung der pliysikalisch- mathematischen Classe vom 9. Juni 1904. 



Zur Ableitung der Formel von C. F. Gauss für den 

 mittlerenBeobachtungsfehler und ihrer Genauigkeit. 



Von F. R. Helmert. 



1. 



INacli dem zweiten Teil der Theoria Coinbinationis, Art. 39, ist das 

 Quadrat des mittleren Fehlers der als gleich genau vorausgesetzten (l)zw. 

 auf gleiclie Genauigkeit reduzierten) Beobachtungen 



[AXT 

 n — m 

 wenn die n voneinander unabhängigen Beobachtungen l die m Un- 

 bekannten xyz . . . bestimmen und A ihre von der Methode der kleinsten 

 Quadrate geforderten Verbesserungen bezeichnen, so daß 



A,= — /,-4-a,a; + ft,y + c,-2+ . . . . i = i...n (2) 



Die Koeffizienten abc... werden hier als streng gegeben vorausge.setzt. 

 Der mittlere Fehler der Bestimmung von ju' aus (i) ist 



M = ± \/- ^ -+- f^ ^ ! m - [{act -+- bß -h n- + . . .y] I . (3) 



Hierin bezeichnet v" den Durchschnittswert der 4. Potenzen unendlich 

 vieler wahrer Fehler der betreffenden Beobachtungsart (in gleicherweise 

 wie fx' den der 2. Potenzen); ferner sind ocfoy . . . durch die Ausdrücke be- 

 stimmt : 



X = [dl] , y = [,Gl] , z = [7/] usw. (4) 



GrAuss gibt dann noch einen Näherungsausdruck für (3) an. 



Ich habe die Absicht, diese wichtigen Formeln im Anschluß an 

 meine Theorie der äquivalenten Beobachtungen herzuleiten , wodurch 

 eine Vereinfachung erzielt wird.^ 



Auf dem Wege zu dieser Entwicldung war auch Jokdan; er fuhrt 

 jedoch nicht die charakteristischen Unbekannten in die Felilergleichun- 

 gen ein, sondern bildet nur verwandte Systeme reduzierter Fehlerglei- 

 chungen. Er leitet auch nur Formel (i) ab und begeht dabei eine 



' Die Ausgleicluingsrechnung nacli der Metiiode der Icleinsten Quadrate, Leipzig 

 1872, S. 164 u. f. 



