Helmert: Mittlerer Beobaclituiigsfehler. 953 



zur fschrittvveisen Ausgleichung vermittelnder Beobaclitungen mit Be- 

 dingungsgleichungen benutzt. 



Die äquivalenten Beobachtungen sind ein spezieller Fall der 

 von T.N.Thiele nach Oppermann betrachteten, gegenseitig »freien« 

 Funktionen von Beobaclitungsgrößen /, auf die er sogar (üne ganz neue 

 Entwicklung der Bletliode der kleinsten Quadrate gründen koiuite.' 



3. 



Sind U,U^U^ . . . die wahren Werte der Unbekannten u und be- 

 zeichnet E die wahren Verbesserungen der /, so ist entsprechend (8): 



s, = — I,-h a,U,-h l>-U,-h c;'U^-h . . . , (i6) 



was mit (8) gibt: 



A; = £; + ff; {u, — U,) + Ä;' (U, — U,) + C- (U^ — C/3) + ( I ? ) 



Hierzu gehören mit Rücksicht auf (15) die Normalgleichungen: 



[b'b']{u^-u:) = [b's] (18) 



[e"c"](U^-u,) = [c"s] 



Nun ist aber aus (17) mittels (15) und (18): 

 f AÄ] = [ee\ - [as\ ( U, - u,)- \b' e] ( T, - «J - [c'e] ( U^ -u^)-..., 

 oder 



M=M-i4-[yi-Lv'i-- '■^' 



Hieraus folgt leicJit Formel (i), wenn rechter Hand der Durclischnitt 

 unendlich vieler Fälle genommen wird. Es wird zunächst 



[AA] = jijj.^ — fx" — |u' — fx' — ... (m) , (20) 



womit sich (i) ergibt. Voi-aussetzung ist, daß der Durchschnittswert 

 des £; einer Beobachtung /, für unen<llich viele Fälle gleich null ist, 

 wie bekanntlich (tauss annimmt. Sonst wird über das Fehlergesetz 

 nichts vorausgesetzt. 



4. 



Zur Vereinfochung setzen wir nun 

 a b' 



V[aa] y\l/U\ |'[r"c"J 



= 5 — ^=== = c usw., (21; 



' Elementaer Jagttagelseslaere. Kobenliavn 1897. — Tlieory of Oliservatioiis. 

 LonJoii 1903. (Im wesentlichen Übersetzung des vorigen.) S. 53 u. f. 



