Helmert: Mittlerer Beobachtiingsfehlor. 959 



Da sich die Ausdrücke für M' in keiner Form zur praktischen 

 Auswertung- eignen, leitet schon Gauss Grenzwerte ab, innerlialh 

 (leren M" eingeschlossen ist. Aus irgendwelchen Gründen nimmt er 

 die Grenzen nicht so eng, als es möglich ist. Sie möglichst eng zu 

 nehmen, ist aber ganz nützlich, weil man dann erkennt, daß die 

 Näherungsformel 



^ = ~^- ~. (62) 



2 {n — m) 



praktisch genügt. 



In (33) bezeichne ich jetzt a- + b-+c- + ... mit /,. Nun ist 

 [(o,n,-)-[i,6, + c,C;-t-. . .)'] = a^a'] + 6;[b'] + c'[c']-i-. . . 



+ 2a,[\[ab] + 2a,c,[ac] + 2b,c,[6c] + . . . , 



d.i. nach {23) und (24) gleich a' + ft' + cj + . . . , also gleich t^. Es 

 ist daher 



t, = t\-^<y\, (63) 



wenn (j\ die Summe [(a,ai + 6,6,-l-c,c, -»- . . .)^] ohne das Glied mit i = i 

 bezeichnet. 



(63) gilt offenbar auch für jeden anderen Index statt i; (t^ ist 

 immer eine Quadratsumme. Setzen wir statt i den allgemeinen In- 

 dex l, so folgt nun aus (63): 



4 = ^±|/^-.^ (64) 



Hiernach liegt 4 zwischen nidl und eins: 



o<4<i. (65) 



Die /, sind somit echte Brüche. 



Da nmi [4] = [cy^] -+■ [6'] -4- fc^] -+-... = /« ist , muß [/• ] < m sein, 

 da das Quadrieren echte Brüche verkleinert. Also ist 



[(a' + 6' + c' + .. .)'j<m. (66) 



Andererseits ist [t]] offenbar ein Minimum bei Gleichheit der /,-, 

 weil die Nebenbedingung [(',] = m bestellt. Mithin ist 



[(a^ + b' + f=-t-...ri>--. (67) 



(66) und (67) geben für M" die Grenzwerte 



und 1 • —. (08) 



n — m n — m n — m n 



Dieselben Werte ergeben sich aus (53), da [().^^ + q' + V" + . . .)"! zwischen 

 (T und 0"^ : n liegt. 



