960 Sitzung der physikaliscli-niatliematischen Classe vom 9. Juni 1904. 



Beim GAUSsschen Gesetz ist bekanntlich v'' = ^jj.*. In praktischen 

 Fällen ist etwas abweichend davon oftmals v^ zwischen ifj.* und ^f/.* 

 gelegen. Für v'' = 31a'' fallen beide Grenzwerte zusammen. Auch für 

 andere Fälle ist ihr Unterschied nicht von Bedeutung, wenn nur 7n 

 wesentlich kleiner als n ist und zugleich annähernd v* = 3//'' wird. 



Ist allerdings / = 2ju* und m:n = ^, so ist die obere Grenze 

 um 50 Prozent größer als die vmtere. In bezug auf M selbst sind 

 beide Grenzwerte um rund 25 Prozent des unteren verschieden. 



In der Geodäsie kommen viele Fälle vor, wo )n:n annähernd -^ oder 

 noch größer ist. Man schreibt anstatt (68) dann besser als Grenzwerte 



v^-hfx* Zjj.^ — v* , Z + iw'' Zfx'^ — V* n — 2m 



und — r- . (69) 



2 (n — m) 2{n — ?n) 2(n — m) 2{n — m) 



Hiervon gibt (62) das arithmetische Mittel annähernd extremer Fälle, 

 indem bei tn = n das 2. Glied der zweiten Grenze entgegengesetzt 

 gleich dem 2. Glied der ersten Grenze wird. 



Schreibt man dagegen die Grenzwerte wie folgt: 



'^ ^'^ - und — ^^ , (69*) 



n — m n — m n — m 



so erkennt man, daß der Ansatz 



M' = -^^ (70) 



n — m 



etwa doppelt so ungenau ist, als (62). Er empfiehlt sich aber dadurch, 

 daß er die Kenntnis von v* nicht voraussetzt, und außerdem gibt er 

 in der Regel M' nicht zu klein an. 



Liegen für |u' mehrere Bestimmungen vor, so sind diese, dem 

 Geiste der Entwicklung von (i) entsprechend, nach der Formel zu 

 vereinigen : 



/^' = ^7-'-^, (71) 



X{n — m) 



worin 2 die Summierung der den einzelnen Bestimmungen zugehö- 

 renden [KK] und (n — m) anzeigt. 



Dies ergibt sich aus der Betrachtung, daß man sich alle Einzel- 

 ausgleichungen in eine einzige zusammengeschrieben denken kann. Un- 

 abhängigkeit der Beobachtungen /und Verschiedenheit der Uubekannten- 

 systeme vorausgesetzt, zerfallen nun aber die Fehlergleicliungeu und 

 Normalgleichungen in Gruppen nach Maßgabe der Einzelsysteme , und 

 es wird die Gesamtsumme der Quadrate der A sieich der Summe der 



