Helmert: Mittlerer Beobachtungsfehler. 961 



einzelnen [AA] , ebenso die ganze Differenz (n — m) gleich der Summe 

 der Einzelwerte. 



Die Einzelwerte von fx' werden in (71) so miteinander verbun- 

 den, als wären ihre Gewichte gleich den zugehörigen {n — m). Eigent- 

 lich sind sie aber umgekehrt ])roportional ihren M" zu setzen. Das 

 gibt nur näherungsweise {n — m), wenn nicht v^ = t^^x* ist, also ins- 

 besondere das GAUsssche Gesetz gilt. Hierin liegt ein Widerspruch , der 

 sich dadurch erklärt, daß nach Bruns bei andern Fehlergesetzen, wo 

 f" ;5^ 3 iix^ ist, Formel ( i ) nicht den günstigsten Wert im Sinne der Me- 

 thode der kleinsten Quadrate gibt. 



Im folgenden möge für einige einfachere Fälle gezeigt werden, 

 daß bei der günstigsten Berechnung von ir Widersprüche nicht ein- 

 treten. Der Einfachheit halber setze ich dabei bedingte Beobachtun- 

 gen voraus. 



9. 



Liegt nur eine Bedingungsgleichung vor, so kann fx' nur aus derem 

 Widerspruch w bzw. lü bestimmt werden, indem man von der Be- 

 ziehung — tu =: [ps] ausgeht. Es folgt 



'•■ = »' = S] <'=' 



mit dem mittleren Fehlerquadrat 



Jf^=2^^-(3^^-v^)[p^], (73) 



wobei p, = Pi : V\pp] ist. 



Sind zwei Bedingungsgleichungen gegeben, mit Beobachtungen 

 derselben Art, aber verschiedenen Beobachtungsgruppen, so gibt jeder 

 Widerspruch eine Bestimmung von JU^ Man kann ansetzen 



w 

 ^] = rv] = j^ mit M] = 2ix' — (siJ.' — v')[p'], 

 [PP] 



ul = \r}l= -^ mit Ml= 2 f^' — (3 ^^ — /) [q'] , 



wobei pi = Pi : y{pp\ , q,- = 9',- : V{qq\ ist. 

 Zu einem Mittel vereinigt, folgt 



(74) 



(75) 



Diese Formel für jw' macht seine Bestimmung nicht mehr von 

 [AA] := luj -I- \vi\ abhängig. Man kann nun nachweisen , daß man die- 



