22 THÉORIE GÉOMÉTRIQUE 



surface développable r„ se réduit à un cône, et qu'elle 

 est plane toutes les fois que r^, se réduit à un cylindre. 



Etudions maintenant les singularités des rotations à 

 un paramètre dans l'espace. Dans une pareille rotation, 

 tout point M du corps C décrit une ligne trajectoire qui 

 passe par le point correspondant M „ du corps fixe C^, 

 toutes les fois que le plan tangent à la surface r„ passe 

 lui-même par M„. Or, en général, on peut mener d'un 

 point M„ plusieurs plans tangents à une surface déve- 

 loppable r„ ; le point M^ sera donc un point multiple 

 de la trajectoire du point M, dont l'ordre de multipli- 

 cité sera égal à la classe de la surface T,. Les plans 

 tangents issus de M^ seront des plans normaux aux dif- 

 férentes branches de cette trajectoire qui passent au 

 point M^. 



Tout plan P entraîné dans le mouvement de rotation 

 du corps C, enveloppe une surface développable qui 

 sera tangente au plan correspondant P^, du corps fixe 

 C(), toutes les fois que P coïncide avec ?„ (ce qui ne veut 

 pas dire que les points correspondants de P et P„ coïn- 

 cident aussi); or cette coïncidence se produira chaque 

 fois que le plan tangent à la surface r^, sera perpendi- 

 culaire au plan fixe P„ et comme en général une sur- 

 face développable r„ possède plusieurs plans tangents 

 perpendiculaires à un même plan P^, leplan P^ sera un 

 plan tangent multiple de la surface enveloppée par le 

 plan P et l'ordre de multiplicité de ce plan tangent sera 

 encore égal à la classe de la surface r,. 



Toute droite D entraînée dans un mouvement de ro- 

 tation du corps C, engendre une surface réglée qui pos- 

 sède une génératrice rectiligne singulière ; cette géné- 

 ratrice est la droite correspondante D^ du corps fixe C^^ 



