440 THÉORIE GÉOMÉTRIQUE 



Toute rotation R\ contient une triple infinité de ro- 

 tations R\, car on peut grouper les droites du plan en 

 séries de droites tangentes à un même cercle et à cha- 

 que cercle du plan correspond une de ces séries ; dans 

 toutes ces rotations R\, tout point M de la figure F, 

 décrit un limaçon de Pascal qui présente un point dou- 

 ble au point fixe M^ ; ce point double est donc le même 

 quelle que soit la rotation R\ considérée. De même 

 toute droite D enveloppe une courbe qui possède une 

 tangente double ; cette tangente est la droite D^, quelle 

 que soit la rotation R\ considérée, etc. 



Si F,, F^, F3, etc. sont des positions de la figure F, 

 choisies arbitrairement dans une rotation à deux para- 

 mètres, deux de ces positions, F, et F, par exemple, 

 déterminent une rotation R\ qui sera contenue toute 

 entière dans la rotation R\ : trois de ces positions , F,, 

 b\, F3, déterminent une rotation R\ qui sera aussi 

 contenue dans la rotation R\, etc. 



Montrons maintenant que la rotation à deux para- 

 métres est le mouvement le plus général (à deux pa- 

 ramétres) dans le plan, c'est-à-dire que par trois posi- 

 tions, arbitrairement choisies, d'une figure F dans le 

 plan, on peut toujours faire passer unerotation à deux 

 paramètres et on n'en peut faire passer qu'une seule. 



Nous avons vu que ces trois positions F^, F,, F, dé- 

 terminent deux à deux trois rotations R\ dont les cen- 

 tres I,, I5, I3, forment un triangle et qu'il existe une 

 seule figure F^, respectivement symétrique des trois 

 figures données par rapport aux trois côtés de ce 

 triangle (fig. 4). Si l'on construit les figures F symétri- 

 ques de cette figure F^ par rapport à chaque droite du 

 plan, le lieu des figures ainsi obtenues définira une 



