142 THÉOKIE MATHÉMATIQUE DE l'ÉCHELLE MUSICALE 



répétition des uns et des autres, Tintervalle z en résultant, 

 sera exprimé par rapport à la tonique initiale, par la relation 



Z = z, ' Z^' . . .Z; ' 



0^1 ïn ïï» •Y- sont des exposants entiers, positifs ou négatifs. 

 Cela nous paraît être l'expression algébrique la plus générale ^ 

 pouvant renfermer celle de tous les intervalles de l'échelle 

 musicale. Mais elle peut être ramenée à une forme plus simple 

 par l'élimination d'un certain nombre de ses variables, entre 

 lesquelles existent, quelle qu'en soit l'origine, certaines rela- 

 tions reconnues par l'expérience et la pi'atique musicales. 



On peut tout d'abord constater que quelle que soit l'étendue 

 relative des intervalles ut^/ré, ré/mi et mi/fa, elle est semblable 

 à celle: soi/la, la/si et sio/ut^, quelle que soit d'ailleurs la valeur 

 exacte de l'intervalle fa/sol dont la dernière uote de la première 

 succession ditîere de la première note de l'autre. Ce sont deux 

 successions semUahles, d'où l'on déduit directement les trois 

 relations particulières : 



z, = Zj, Zo = Zg et z- = Z7 



qui confirment que les intervalles uto^solo, ré^/lay, mi(,/sio, 

 fa^/uto, définis par les musiciens comme ceux de quinte sont 

 égaux, les trois équations ci-dessus pouvant s'écrire 



Zi(Z2Z3Z4) = (Z2Z3Z4)Z0) ZoiZyZ^Z:,) = Z,,Z^Z-^Z^^ Z^k^'i^h^a] = (Z4Z5Zb)Z; 



qui ont successivement un même membre. 



' Cette relation générale renferme comme cas spéciaux les échelles 

 de Pythagore, de Zarlin et d'Euler, suivant qu'on considère les 7 varia- 

 bles y figurant comme ne dépendant en réalité que de deux ou trois 

 intervalles fondamentaux identifiés aux deux ou trois premiers harmo- 

 niques, un intervalle quelconque z prenant alors la forme z = 2* S'^ 5^ 

 où a, ^ et y sont des exposants entiers, positifs, négatifs ou nuls et en 

 particulier y toujours nul dans le premier cas. Les échelles de Zarlin 

 et d'Euler sont en principe les mêmes et en fait identiques dans les 

 valeurs qu'elles assignent aux notes naturelles ; si elles diffèrent ^au 

 delà, c'est que dans l'une et l'autre il est abusif d'y parler de la valeur 

 d'une note accidentée, celle-ci, telle qu'un fa*, y étant essentiellement 

 dépendante de la tonalité ; il faut y admettre plusieurs fa3, etc., ce qui 

 n'est pas le cas dans des échelles fonction de 2 intervalles, telles que 

 celle de Pythagore. 



