THÉORIE MATHÉMATIQUE DE l'ÉCHELLE MUSICALE 143 



L'égalité de ces 4 «quintes», dont la première est en fait 

 l'intervalle dont la première succession se trouve transposée 

 dans l'autre, en particulier de la dernière fa^/ut^ avec les deux 

 autres que les musiciens définissent encore comme telles dans 

 la gamme fondamentale, celles sol„/réj et la„ mi^, conduit aux 

 deux relations supplémentaires : 



ZjZjZjZo = ZjZjZ^z, et ZjZgZ^Zi = ZgZ^ZiZ^ , d'où Z4 = Zj et z„ = Zo 



Par ce système de 5 équations particulières, exprimant eu 

 fait ce qu'on pourrait appeler le py-inci'pe de L'égalité des six 

 quintes fondamentales \ se résolvant en : 



Z] '• — '■ Zo — Z4 — Z5 — Zg — X 



d'une part et 



Z3 = Z; = y 



d'autre part, on voit que l'expression générale d'un intervalle 

 dépend en réalité de deux seules variables, telles que x et y, 

 dénommées secondes majeure et mineuj'e et pourra s'écrire 

 z = x^y^(-) où a et b sont des exposants entiers ±, relation 

 devenant en particulier pour l'octave : z^, = x^y^ 



La gamme fondamentale, prolongée au delà de la note d'oc- 

 tave utj, sera alors représentée par rapport à ut^ par les ex- 

 pressions du tableau ci-dessous : 



uto i réo j mio fao solo 1 lao sio utj i[ réj 1 mij fai soli 

 1 ; X X- x^y x^y x*y x°y x*y- x®y- x^y-;x'y^ x^y^ 



' Ce principe n'entraîne pas avec lui l'obligation d'une quinte de 

 valeur « harmonique ». Il ne sera certainement contesté par aucun 

 musicien pratiquant les instruments à cordes, mais il serait à désirer 

 que des physiciens voulussent bien le vérifier, non seulement avec le 

 concours de violonistes, etc., mais aussi de chanteurs (car on peut en 

 effet objecter que le violon n'est pas un instrument à sons entièrement 

 libres), en contrôlant d'une manière relative les successions et relations 

 ci-dessus. 



- Dans cette expression, la somme des exposants a et b, quand ils 

 sont tous deux positifs, augmentée d'une unité, correspond, dans la 

 terminologie musicale, au rang de l'intervalle. Ainsi les expressions 

 x- et xy, sont toutes deux des tierces, l'une majeure, l'autre mineure ; 

 x^ et x-y sont la quarte augmentée et la quarte; x^y et x-y- sont la 

 quinte et la quinte diminuée ; celle de x^y- est l'octave ; x*y^ la dou- 

 zième (ou quinte redoublée), etc. 



