144 THKORIE MATHÉMATIQUE DE l'ÉCHELLE MUSICALE 



Si la tonique change, et suivant celle-ci, pour reproduire la 

 même succession d'intervalles, certains d'entre eux devront 



être « auo-raentés » ou « diminués » d'un intervalle , la seconde 



chromatique des musiciens, la note naturelle étant alors sim- 

 plement dièsée dans le premier cas, hémoliaée dans le second. 

 Ces simples accidents sont ceux qui interviennent à la clé des 

 15 tons majeurs et 15 tons mineurs dans lesquels il est d'usage 

 d'écrire en musique, et au delà desquels certaines notes 



naturelles devraient subir des altérations de la forme (-1 



où l'exposant y, entier zt, est le degré de l'accident, positif 

 pour les dièses et négatif pour les bémols. Ainsi il est à retenir 

 que les 15 tonalités d'usage en musique paraissent avoir été 

 dictées par une simple question d'orthographe musicale, ce à 

 quoi nous reviendrons. Cette première échelle de notes permet 

 de définir les expressions algébriques des 13 intervalles résul- 

 tant directement de la gamme fondamentale, autrement dit 

 les 13 intervalles fondamentaux, qu'on trouvera exprimés sous 

 colonnes 1 bis et 3 du tableau suivant. Les notes correspondant 

 à ces intervalles par rapport à la tonique ut„ sont indiquées 

 sous colonne 4 et celles naturelles formant ces intervalles fon- 

 damentaux, sous colonne 1. De ces 13 intervalles il est aisé de 

 voir que pour autant qu'une seconde mineure soit inférieure à 

 une seconde majeure, 12, qu'on pourrait R\^^e\ev princi2)aux, peu- 

 vent être classés rigoureusement par ordre de grandeur, selon 

 numérotation sous colonne 2 ; nous y reviendrons au § suivant, 

 tandis que l'un, sous chiffre 6 a, la quinte diminuée, ou double 

 tierce mineure, d'expression x'-y- n'a pas, de ce point de vue, 

 une position précise par rapport à la quarte augmentée {le 

 triton des anciens, d'expression x^, leur variation possible se 

 mouvant partiellement dans le même espace. 



De leur différence, que nous désignerons par c, exprimée 

 algébriquement par 



x'' X „ 



x-y- y- ^ 



qui est également celle d'une seconde chromatique à une 

 seconde mineure 



X , X 



y ^ T 



